Konforme Zufallsfelder

Ziel dieses Projekts ist es, geometrische Eigenschaften bestimmter zufälliger Strukturen in zwei Dimensionen zu untersuchen, die in einem Bereich der theoretischen Physik auftreten, der als Quantenfeldtheorie bekannt ist ein grundlegender Baustein unseres Verständnisses des Universums. Konkret werden wir uns auf mehrere Themen konzentrieren, darunter die Liouville- konforme Feldtheorie, ein zweidimensionales Modell der Quantengravitation. Deren Konstruktion und Beschreibung erfordert neue Methoden an der Schnittstelle von Wahrscheinlichkeitstheorie, Analysis und Geometrie. Insbesondere werden wir uns auf deren spektrale Geometrie konzentrieren (die beispielsweise beschreibt, wie sich Wellen in dieser zufälligen Geometrie ausbreiten) und versuchen, eine vermutete Verbindung zu einem Phänomen namens Quantenchaos herzustellen. Außerdem wollen wir zeigen, wie verwandte Ideen verwendet werden können, um Modelle der statistischen Mechanik zu beschreiben (das sind mikroskopische Modelle für das Verhalten einer sehr großen Anzahl von Teilchen) bei einer Temperatur, die nahe, aber nicht genau am sogenannten kritischen Punkt liegt, an dem sie einen Phasenübergang durchlaufen. Besonders im Fall des berühmten Dimer-Modells werden wir eine damit verbundene Boson-Fermion-Korrespondenz beschreiben.