Abbildungen und Borel-Abbildungen involutiver Strukturen

Im vorliegenden Projekt studieren wir Symmetrien und Borel-Abbildungen von sogenannten involutiven Systemen linearer partieller Differentialgleichungen man kann aus jeder linearen partiellen Differentialgleichung ein solches System machen, welches dieselben Lösungen besitzt. Diese zwei Zielsetzungen sind in gewisser Weise komplementär, dienen aber beide dazu, die Lösungen von partiellen Differentialgleichungssystemen besser zu verstehen. Eine Symmetrie eines Systems linearer Differentialgleichungen ist, grob gesagt, eine Transformation der unterliegenden Koordinaten welche Lösungen des Systems in Lösungen überführt. Man kann Symmetrien sowohl mit analytischen als auch mit geometrischen Methoden untersuchen; in unserem Projekt konzentrieren wir uns auf den zweiteren Zugang. Für spezielle involutive Systeme (die sogenannten Cauchy-Riemann oder CR Systeme) ist die Theorie dazu schon sehr weit entwickelt, aber die Methoden die zu ihrem Studium entwickelt wurden verwenden einen Zusammenhang zwischen Lösungen dieser Systeme und Abbildungen, die uns im allgemeinen Fall nicht zur Verfügung stehen. Wir sind daran interessiert, Methoden zu entwickeln, die sich auch für andere involutive Systeme anwenden lassen. Ziel ist es zu zeigen, dass ähnlich wie für CR Systeme es für die meisten involutiven Systeme nur eine endlichdimensionale Familie von Symmetrien existiert, und Bedingungen zu charakterisieren, die implizieren dass ein System eine unendlich dimensionale Familie von solchen Symmetrien besitzt. Borel-Abbildungen stellen eine Beziehung zwischen Lösungen von involutiven Systemen und sogenannten formalen Lösungen dar. Der Name ist wegen eines Satzes von Borel gewählt, der besagt, dass jede formale Potenzreihe in einer Veränderlichen die Taylorreihe einer glatten Funktion ist. Man kann sich ähnlich fragen, ob die Potenzreihenentwicklungen von Lösungen einer partiellen Differentialgleichung außer den offensichtlichen Einschränkungen (dies führt zu den schon erwähnten formalen Lösungen) noch anderen, tatsächlich interessanten Einschränkungen unterliegt. Zum Beispiel sind für die üblichen CR Differentialgleichungen in der Ebene alle formalen Lösungen die Taylorentwicklungen tatsächlicher Lösungen sind konvergent. Für allgemeine involutive Systeme gibt es hinreichende Bedingungen, die die Gültigkeit des Satzes von Borel zeigen oder auch die Analogie zu den CR Differentialgleichungen in der Ebene herstellen. Wir sind daran interessiert, geometrische Methoden zu entwickeln, die auch notwendige Bedingungen für solche Ergebnisse ermöglichen.