Großgruppen und Aktionsschließungen

Das Thema des Projekts sind so genannte große Gruppen (oder unendlich-dimensionale Gruppen), ihre unitären Darstellungen und die damit verbundene harmonische Analyse. Der Begriff große Grup- pen ist informell und umfasst die folgenden Arten von Gruppen: Gruppen von Matrizen unendlicher Ordnung (die wichtigsten sind Gruppen von Matrizen mit reellen oder komplexen Elementen, aber auch Matrizen über endlichen Feldern und uber p-adischen Zahlen sind interessant, und diese Richtungen sind unabhängig), unendliche symmetrische Gruppen (verschiedene Gruppen von Permutationen un- endlicher Mengen), Gruppen von Transformationen von Maßräumen, die Gruppe der Diffeomorphismen des Kreises. Es gibt auch einige andere Arten von großen Gruppen, die weniger populär sind, aber in meinem Zusammenhang für die allgemeine Entwicklung wichtig sind. Solche Gruppen erschienen in verschiedenen Bereichen der reinen Mathematik im Laufe ihrer natürli- chen Entwicklung (als neue Ziele oder als Werkzeuge zur Lösung alter Probleme). Andererseits wurden schon früher einige große Gruppen zu einem Werkzeug der Quantenfeldtheorie (Karl Friederichs, Irving Segal, Felix Berezin, Miguel Virasoro); neuere Forschungen zur harmonischen Analyse auf großer Gruppen (Grigory Olshanski, Anatoly Vershik, Sergey Kerov, Alexei Borodin et al.) enthielten neue Ge- sichtspunkte für die Theorie der Zufallsmatrizen, die in modernen physikalischen Theorien wichtig sind. Die Theorie der großen Gruppen war eine neue Entität und keine Verallgemeinerung im üblichen mathematischen Sinne. Einige ihrer Eigenschaften scheinen aus der Sicht der klassischen Theorien un- möglich. Die Liste der `Großen Gruppen` sieht aus wie eine Sammlung unzusammenhängender Objekte, aber die Theorie ist durch tiefe Analogien, parallele Technologien und gegenseitige Anwendungen ver- eint. Ich habe lange Zeit in großen Gruppen gearbeitet, und in den Jahren 1980-1996 und 2010-2023 war dies der Hauptbereich meiner Tätigkeit. Das interessanteste Problem des Projekts ist die Konstruktion von Gegenstücken zur Fourier-Transformation. Teilweise ist dies bekannt (bestehende Ergebnisse liefern Gegenstücke zur `Harish-Chandra sphärischen Transformation`), aber es besteht die Hoffnung, dies auf einen breiteren Kontext auszuweiten; insbesondere könnte dies ein Weg zu speziellen Funktionen in ei- ner unendlichen Anzahl von Variablen sein. Ich beabsichtige, Klassifizierungen von unitären Darstellun- gen, Beschreibungen von Kategorien von doppelten Kosets, Abschlüsse von großen Gruppen in Darstel- lungen und in Aktionen auf Maßräumen zu untersuchen. Ich beabsichtige, die Theorie auf einige Super- gruppen zu erweitern. Ich beabsichtige auch, den Abstieg zur endlichen Dimension zu untersuchen und einen unendlich-dimensionalen Punkt auf gewöhnliche Gruppen von Matrizen endlicher Ordnung und auf endliche Permutationsgruppen anzuwenden. Ich beabsichtige auch, nach Anwendungen auf stochas- tische Prozesse, Kombinatorik und Ergodentheorie zu suchen.