Kontakttopologie in den Dimensionen 3 und höher

Dieses Projekt untersucht die Geometrie von Räumen, die in Mathematik und Physik eine zentrale Rolle spielen. Im Mittelpunkt stehen Kontaktstrukturen spezielle Strukturen auf ungeradzahligen Räumen, die jedem Punkt eine sich maximal verdrehende Hyperbene zuordnen. Diese Nicht-Integrabilität macht Kontaktgeometrie reich an Ereignissen und unverzichtbar für das Verständnis von Zwangsbedingungen, Bewegung und Wechselwirkung. In drei Dimensionen hat die Kontaktgeometrie bereits zu wichtigen Fortschritten in Knotentheorie, Topologie und Dynamik geführt. Dennoch bestehen grundsätzliche offene Fragen. Das Projekt setzt hier an, insbesondere durch die Analyse Legendrescher Knoten, die überall tangential zur Kontaktstruktur verlaufen. Sie dienen als präzise Werkzeuge, um die umgebende Geometrie zu erfassen. Mit visuellen und kombinatorischen Methoden etwa konvexen Flächen und Open-Book-Zerlegungen sollen neue Zugänge zur Klassifikation solcher Knoten und der zugehörigen Kontaktstrukturen entwickelt werden. In höheren Dimensionen zielt das Projekt darauf ab, grundlegende Kriterien für Tightness zu entwickeln eine Eigenschaft, die Flexibilität ausschließt und über die strukturelle Starrheit einer Kontaktstruktur entscheidet. Dazu verfolgt das Projekt zwei komplementäre Ansätze: einen über konvexe Hyperflächen als höherdimensionale Verallgemeinerungen konvexer Flächen und einen über Open-Book-Zerlegungen, bei denen der Raum wie ein Buch organisiert wird. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf der fünften Dimension. Hier lassen sich Techniken aus der Dreidimensionalität teilweise adaptieren, gleichzeitig entstehen neue Phänomene. Das Projekt wird konkrete Beispiele und Methoden bereitstellen, die als Grundlage für zukünftige Entwicklungen dienen und einen Weg zu einer umfassenderen Theorie höherdimensionaler Kontaktstrukturen eröffnen. Die geplanten Resultate sollen das Verständnis von Kontaktgeometrie in bisher wenig erforschten Dimensionen vertiefen und Werkzeuge bereitstellen, die in verwandten Gebieten eingesetzt werden können. Die Forschung erfolgt in Zusammenarbeit mit Expert:innen aus Österreich, Deutschland, Indien, Italien und den USA. Zudem ist die Einbindung einer PostDoc-Forscherin oder eines PostDocs vorgesehen, die oder der an zentralen Aspekten des Projekts mitarbeiten wird.