Singuläre dynamische Systeme und Picard-Lösungen der PDE

Dieses Forschungsprojekt liegt im Bereich der Theorie der verallgemeinerten glatten Funktionen von Colombeau und Anwendungen davon. Im ersten Teil des Projekts (Arbeitspaket 1) schlagen wir vor, mit der Entwicklung der Theorie singulärer dynamischer Systeme zu beginnen, d. h. Systeme, die durch Gleichungen beschrieben werden, die sowohl den Zustand des Systems als auch seine Ableitungen enthalten und in denen wir abrupte Änderungen dieses Zustands, z.B. bei Autounfällen oder Schäden an mehreren Systemen untersuchen müssen. Im Arbeitspaket 2 planen wir, diese Theorie singulärer dynamischer Systeme auf idealisierte Modelle der Autounfallmodellierung anzuwenden. Solche Beispiele werden auch als komplexe Systeme in der Theorie der Interaktionsräume untersucht sein, einer universellen mathematischen Theorie komplexer Systeme, die vom Hauptforscher des Projekts entwickelt wurde. Im Arbeitspaket 3 schlagen wir vor, einige jüngste Ergebnisse zum Picard-Lindelöf-Theorem für partielle Differentialgleichungen zu erweitern, d. h. wenn die enthaltenen Ableitungen eine oder mehrere Variablen betreffen. Im Arbeitspaket 2 wollen wir zuerst eine allgemeine Theorie der Hierarchie komplexer Systeme unter Verwendung von kategorietheoretischer Funktoren entwickeln, die Ursache-Wirkungsbeziehungen in zwei Interaktionsräumen erhalten. Einige Beispiele für hierarchisch komplexe Systeme sind: das Gehirn, urbane Systeme, das Immunsystem, biologische Organismen, soziale Systeme usw. Dadurch hätten wir eine weiter tiefgreifende und durch diese Verbindung mit Modellierung komplexer Systemen und relevanten Beispielen skizzierte Verallgemeinerung der Theorie dynamischer Systeme. Wir planen auch, eine hierarchische Beschreibung der Autounfallmodellierung durch Verwendung dieser allgemeinen Theorie in Betracht zu ziehen, indem wir zuerst ein einzelnes Auto mithilfe eines Modells für das nichtlineare Verhalten der Autounfallmechanik darstellen. Danach wollen wir schließlich die vorherige Beschreibung eines Fahrzeugs mit einem Verkehrsflussmodell (höher hierarchische Beschreibung als komplexe Systeme) mittels frei verfügbarer Software verbinden. Im Arbeitspaket 3 planen wir die Entwicklung eines allgemeinen Konzepts der Picard-Iteration mit mehreren Anwendungen auf lineare und nichtlineare singuläre partielle Differentialgleichungen. Das Projekt wird Folgendes liefern: eine allgemeine Theorie dynamischer Systeme, einschließlich der klassischen, aber auch singulärer Differentialgleichungen. Ein Modell von Autounfällen im Verkehrsfluss als hierarchisch komplexe Systeme und Anwendung der allgemeinen Theorie des Arbeitspakets 1 auf dieses System. Die beteiligten Hauptforscher sind Priv.-Doz. Dr. P. Giordano und Prof. M. Kunzinger, die als leitende Forscher an allen Arbeitspaketen dieses Projekts arbeiten. Zur Mitarbeit bei der Erarbeitung vom Arbeitspaket 1 und Arbeitspaket 2 ist Anstellung einer:s Postdoc- Forscher:in vorgesehen.