Symmetrische erzeugende Funktionen und Permutationsstatistik

Eine Permutation einer Menge ist eine Anordnung ihrer Elemente zu einer Folge und eine Permutation Statistik ist eine Funktion, welche die Menge aller Permutationen einer gegebenen Menge abbildet auf die Menge der nichtnegativen Zahlen. Schon M.P. McMahon hat im Jahre 1916 Permutation Statistiken untersucht. Seitdem haben sich Permutation Statistiken zu einem recht aktiven Forschungsgebiet entwickelt, weil es zahlreiche Verbindungen zu anderen mathematischen Gebieten wie den symmetrischen Funktionen, grundlegenden hypergeometrischen Reihen und Zufallsmatrizen gibt. Beispielsweise haben wir vor kurzem eine überraschende Verbindung zwischen Statistiken von Mitgliedern der Fishburn Familie und Transformationsformeln für grundlegende hypergeometrische Reihen gefunden; wir haben einen zweischrittigen Sattelpunkt Zugang entwickelt, welcher es erlaubt mit vielen erzeugenden Funktionen umzugehen, welche sich als Reihe endlicher Produkte darstellen lassen. Als Anwendung konnten eine Reihe von Fragen gelöst werden, welche von großem Interesse in der Kombinatorik, Topologie und Modulform Forschungsgemeinschaft sind. In diesem Projekt werden wir weiterhin der Erforschung des Zusammenspiels von Permutations Statistiken und erzeugenden Funktionen nachgehen. Unsere angestrebtes finales Ziel ist das Aufzeigen neuer Verbindungen und die Entwicklung neuer Zugänge, in dem feine kombinatorische Techniken und mächtige, analytische Methoden kombiniert werden, um das wahrscheinliche Verhalten großer zufälliger Permutationen zu studieren, was die Stärke von erzeugenden Funktionen hervorhebt, wenn es darum geht Brücken zwischen so verschiedenen Bereichen wie Kombinatorik, Asymptotik und Computer Algebra zu schlagen.