Interfaces und freie Ränder

Ein breites Spektrum von mathematischen Problemen in den Ingenieurs-, Umwelt-, Finanz-, Medizin-, Physik- und anderen angewandten Wissenschaften beschäftigt sich mit der Bestimmung von Interfaces und/oder freien Rändern. So ist man etwa in der Bruchmechanik am Kontaktverhalten gegenüberliegender Rißflächen interessiert, um Strukturfehler zu studieren und zu erkennen; in der Finanzmathematik möchte man zur Ausübung von Optionen den Rand der Menge bestimmen, für welche der Wert einer Option gleich der Differenz aus vereinbartem Preis und aktuellem Preis eines Wertes ist; in der Medizin ist die schnelle Segmentierung von Magnetresonanzbildern von Tumoren in der intraoperativen Neuauswertung der Tumorlokalisierung von Bedeutung. Weiter gibt es eine Vielzahl von Anwendungen, in welchen man ein System so steuern möchte, dass der Zustand - und somit der freie Rand - ein vorgegebenes Kriterium erfüllt. Beispiele für die eben erwähnte Problemstellung sind die Rekonstruktion der Spalthöhe zwischen zwei rotierenden Flächen anhand von Messungen des Drucks in einem Schmiermittel (etwa in Gleitlagern); oder, in der Finanzmathematik, die Schätzung (und mögliche Vorhersage) der Volatilität eines Wertes anhand verfügbarer Marktdaten. Aus Sicht der Optimierungstheorie gehören diese Probleme zur Klasse der Minimierungsprobleme mit Gleichgewichtsnebenbedingungen (engl. Abkürzung MPECs für ``Mathematical Programs with Equilibrium Constraints``). Aufgrund von fehlenden Regularitätseigenschaften der Nebenbedingungen, der Problemgröße und der involvierten kombinatorischen Aspekte sind sowohl die analytische wie auch die numerische Behandlung dieser Problemklasse große Herausforderungen. Diese weite Spanne von anscheinend disjunkten Problemen basiert auf einigen gemeinsamen Strukturen, welche eine Formulierung in vereinheitlichten Klassen gestatten. So bilden (Quasi) Variationsungleichungen ein fundamentales Paradigma im Kontext der freien Randwertprobleme. Unter hinreichenden Glattheitseigenschaften kann man diese Probleme als Systeme von (im klassischen Sinne) nichtdifferenzierbaren Operatorgleichungen in Funktionenräumen auffassen. Basierend auf bisherigen Resultaten des Preisträgers ist ein Ziel dieses START- Projekts, das Verständnis der Theorie der verallgemeinerten Differenzierbarkeit und der verallgemeinerten Newton- Verfahren zur effizienten Lösung solcher Systeme voranzutreiben. In manchen Fällen kann diese Reformulierung aufgrund niedriger Regularität sogenannter Lagrange- Multiplikatoren, welche Sensitivitätsmaße bezüglich der vorhandenen (Ungleichungs-) Restriktionen sind, fehlschlagen. In anderen Situationen wiederum kann es sein, dass das reformulierte System nicht verallgemeinert differenzierbar ist. Ein Paradigmenwechsel hin zur Reformulierung der (Quasi)Variationsungleichung als Form- bzw. Topologieoptimierungsproblem bietet eine neue Sichtweise, in welcher die Regularitätsprobleme vermieden werden können. Nun ist man an der Entwicklung schneller Lösungsverfahren für geometrische Optimierungsprobleme interessiert. Diese Entwicklung steht ebenfalls im Zentrum des vorliegenden Projekts. Klarerweise können diese numerischen Methoden auch auf Form- bzw. Topologieoptimierungsprobleme `per se` angewandt werden. In diesem Sinne wird auch die Lösung von entsprechenden Problemen in der (medizinischen) Bildverarbeitung verfolgt. Obwohl MPECs in Funktionenräumen von großer Bedeutung in den Anwendungen sind und einen Bezug zu (Quasi)Variationsungleichungen aufweisen, sind diese aus Sicht der Optimierungstheorie überraschend wenig untersucht. Auch die aktuell vorhandene Algorithmik ist bei weitem nicht zufriedenstellend. Die Projektarbeit hat hier zum Ziel, im Funktionenraum Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung herzuleiten. In weiterer Folge dienen diese Optimalitätscharakterisierungen der Entwicklung effizienter Lösungsverfahren, welche sich wiederum auf verallgemeinerte Newton-Techniken stützen.

Ein breites Spektrum von mathematischen Problemen in den angewandten Wissenschaften und in der Medizin beschäftigt sich mit der Bestimmung von Interfaces oder freien Rändern. So ist man etwa in der Bruchmechanik am Kontaktverhalten gegen überliegender Riss?ächen interessiert, um Strukturfehler zu erkennen; in der Finanzmathematik möchte man den Ausübungszeitpunkt einer Option bestimmen; und in der Medizin sind die schnelle Segmentierung von Strukturinformation in Magnetresonanzbildern (etwa eines Tumors in der intra-operativen Neuauswertung der Tumorlokalisierung) und die tomographische Erkennung von Gewebestrukturen anhand von nicht-invasiven Messungen von Bedeutung. Weiter gibt es eine Vielzahl an Anwendungen, in welchen ein System so gesteuert werden soll, dass dessen Zustand an ein vorgegebenes Kriterium in optimaler Weise herangeführt wird. Beispielsweise möchte man in der Formation einer Polymermembran deren Porositätsstruktur so einstellen, dass vorgegebene Filtrations- oder Permeabilitätseigenschaften erreicht werden.Das START-Projekt hat sich mit den mathematischen Grundlagen für diese breite Klasse von Problemen beschäftigt. Einerseits konnten für Optimierungsprobleme mit Gleichgewichtsnebenbedingungen (wie in den genannten Beispielen der Rissmechanik oder der Polymermembran) Charakterisierungen von optimalen Lösungen mittels neuer mathematischer Werkzeuge und Techniken aus dem Bereich der mehr- oder mengenwertigen Analysis erreicht werden. Andererseits wurden neue Methoden für die Optimierung von Formen und von topologischer Struktur (wie etwa in der Bildsegmentierung und bei Tomographieproblemen) gewonnen. Die neuen analytischen Erkenntnisse wurden mit Hilfe innovativer numerischer Lösungsverfahren am Computer praktisch umgesetzt. Ein besonderes Augenmerk wurde dabei auf die ef?ziente Reduktion der sehr komplexen mathematischen Modelle auf eine für praktische Berechnungen handhabbare Größe gelegt. Dieses Ziel wurde mithilfe rigoros hergeleiteter Fehlerschätzer und einer daraus resultierenden lokalen Modelladaption erreicht.In der mathematischen Bildverarbeitung führte die Projektarbeit zu einem allgemeinen mathematischen Rahmen zur Behandlung von Problemen in der Impedanztomographie, der ?uoreszierenden optischen Tomographie und der Magnetinduktionstomographie. Methodisch wurden topologische Ableitungen verwendet, um anhand der gegebenen Messungen die Lage und Anzahl von unbekannten Objekten zu erkennen. Anschließend wurde die lokale geometrische Struktur der detektierten Objekte mittels Formsensitivität verbessert. Diese Methodik kann sowohl in der medizinischen Bildgebung als auch in den Materialwissenschaften eingesetzt werden. Ein weiterer Einsatzbereich liegt in der Detektion von verborgenen Landminen anhand von Re?ektionen elastischer Wellen. Weiter wurde ein ef?zientes Verfahren zur Mehrphasensegmentierung von Bildinformation entwickelt. Damit kann ein beträchtliches Datenvolumen, wie es in Magnetresonanzmessungen entsteht, in kurzer Zeit behandelt werden. Die Robustheit der neuen Methode und die aufgrund der Verfahrensef?zienz reduzierten Wartezeiten für Patienten sind in der medizinischen Anwendung von Interesse.Methoden der Form- und Topologieoptimierung wurden in der Berechnung von optimalen Führungen von Luftkanälen in Dieselmotoren eingesetzt. Auf diese Weise konnten Ef?zienzgewinne im Totaldruckverlust oder in der Gleichmäßigkeit der Ausströmung im zweistelligen Prozentbereich erreicht werden. Die entwickelte Software wird in der Erstellung von Prototypen in der Automobilindustrie eingesetzt.