Probabilistische Methoden in Analysis und Zahlentheorie

In diesem Projekt werden wir einige spezifische Probleme aus den mathematischen Teilgebieten der Analysis, der Zahlentheorie, und der numerischen Mathematik untersuchen, deren Gemeinsamkeit darin besteht dass probabilistische (das heißt, wahrscheinlichkeitstheoretische) Methoden ein wichtiges Werkzeug für ihre Erforschung darstellen. Ein Teil des Projekts wird sich eher theoretischen Problemen aus der Theorie der Gleichverteilung modulo Eins, der analytischen Zahlentheorie sowie der Theorie der Konvergenz von Funktionenreihen widmen. Ein zweiter Teil wird sich hingegen mit Problemen aus der angewandten Mathematik beschäftigen, insbesondere Problemen aus der tractability theory wie etwa Fehlerabschätzungen für die Quasi-Monte Carlo Methode zur numerischen Integration hochdimensionaler Funktionen. Einige der Hauptziele des Projekts sind: Eine neue, leistungsstarke Methode, die unlängst vom Antragsteller gemeinsam mit Istvan Berkes und Kristian Seip entwicklet wurde, zur Lösung von seit vielen Jahrzehnten offenen Problemen aus der metrischen Zahlentheorie und der Theorie der Konvergenz von Funktionenreihen zu verwenden. Den Zusammenhang der Summen von größten gemeinsamen Teilern, welche die Basis der oben genannten Mehode bilden, mit der Riemannschen Zeta-Funktion erforschen, und diese Summen sowie die Resonanzmethode zu verwenden um neue untere Schranken für das Maxmimum der Riemannschen Zeta- Funktion zu beweisen. Das Problem der Inversen der Diskrepanz zu untersuchen, sowie Resulate über die Existenz von Niedrig-Diskrepanz-Punktmengen mit geringer Kardinalität zu erhalten. Diese Probleme sind von größter Wichtigkeit, weil sie darüber entscheiden ob die Quasi-Monte Carlo Methode im hochdimensionalen Fall am Computer durchführbar ist oder nicht. Neue Resultate über die Existenz von Niedrig-Diskrepanz-Punktmengen in Bezug auf nicht- gleichverteilte Maße zu erhalten, und Konstruktionen solcher Punktmengen zu finden. Solche Resultate werden die Quasi-Monte Carlo Methode für wichtige neue Funktionenklassen erschließen, die für die derzeitige Methode (Verwendung des gleichverteilten Maßes) außer Reichweite sind. Insgesamt soll das Projekt zu wertvollen neuen Erkenntnissen, sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Mathematik, führen, sowie neue probabilistische Methoden zur Untersuchung von Problemen in Analysis, Zahlentheorie und angewandter Mathematik liefern.

Dieses Forschungsprojekt beschäftigte sich mit Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie in anderen mathematischen Disziplinen wie Analysis, Zahlentheorie und numerischer Mathematik. Zu den Schwerpunkten gehörten die Theorie der Riemannschen zeta-Funktion, die lokalen Verteilungseigenschaften von Zahlenfolgen, und Zusammenhänge mit diophantischer Approximation. Im Lauf der Forschungsarbeit sind mehrere unerwartete Querverbindungen aufgetaucht, etwa zur Berry-Tabor Vermutung aus der theoretischen Physik oder zur Theorie der Quanten-Modularformen von Zagier. In diesem Projekt haben zusätzlich zum Projektleiter zu jedem Zeitpunkt zwei PostDoc-Forschende mitgearbeitet, zwei Doktorats-Studierende wurden im Lauf des Projekts ausgebildet.