Elastische Festkörper mit geometrischem Rand

Elastische Festkörper sind dadurch charakterisiert, dass sie sich bei Krafteinwirkung verformen und bei Wegfall der Kraft wieder in ihren Ursprungszustand zurückkehren. Beispiele dafür sind Stahlfedern oder Gummibälle. Mathematisch kann die Deformation solcher Materialien unter dem Einfluss äußerer Kräfte durch ihre Eigenschaft, die Verformungsenergie zu minimieren, beschrieben werden. Dabei unterliegen die zulässigen Deformationen gewissen physikalischen Einschränkungen, wie der Unmöglichkeit von Selbstdurchdringung. Bei bestimmten komplexen Werkstoffen (z.B. zusammengesetzten Materialien) treten hierbei Effekte auf, die sowohl vom Verhalten des Materials im Inneren als auch von Eigenschaften seiner Oberfläche, wie deren Geometrie und Krümmung, abhängen. Ein wichtiges Beispiel hierfür sind rote Blutkörperchen, deren Form durch ein Model, welches negativ gekrümmte Regionen bevorzugt, beschrieben werden kann. Ziel dieses Projektes ist es, eine rigorose mathematische Theorie für physikalisch zulässige Deformationen solcher Materialien zu entwickeln, die sich nahtlos in die vorhandenen Konzepte der minimalen Verformungsenergie einfügt. Besondere Aufmerksamkeit gilt dabei der Beschreibung sogenannter singulärer Objekte. Auf der geometrischen Seite beinhaltet das nicht-glatte Oberflächen, die scharfe Ecken aufweisen können. Andererseits kann auch die Deformation selbst sprunghaftes Verhalten aufweisen, wenn sich beispielsweise unter Spannung Hohlräume in einem gummiartigen Material bilden. Die systematische Betrachtung dieser Prozesse im Rahmen des Projektes kombiniert dabei klassische Prinzipien der Variationsrechnung mit Methoden aus der Geometrie, insbesondere der geometrischen Maßtheorie. Wichtige Aspekte der Untersuchung sind die Interaktion von Verformung und Oberfläche, die Eigenschaften von Minimierern und die Anwendung der Theorie auf dynamische Prozesse.