Multiplikativität, Determinismus und Zufall

Das Ziel dieses österreichisch-französischen Projekts ist es, Fortschritte bei mathematischen Problemen zu erzielen, wo Zufälligkeit (bzw.Pseudo-Zufälligkeit) in deterministischen Zusammenhängen auftritt, insbesondere im Kontext der analytischen Zahlentheorie, der Wort-Kombinatorik, der Automatentheorie, von Quasi-Zufallszahlen und verwandter Disziplinen. Viele grundlegende Probleme lassen sich hier einordnen. Beispielsweise ist die klassische Möbiusfunktion zwar für sich eine deterministische Funktion, besitzt aber zahlreiche Eigenschaften zufälliger Folgen. In diesem Zusammenhang interessieren wir und für die asymptotische Unabhängigkeit zwischen der Möbiusfunktion und anderer deterministischen Funktionen, die etwa von einem dynamischen System mit verschwindender Entropie oder durch einen simplen Algorithmus aus der Binärdarstellung erzeugt werden. Die Schwierigkeit dieses Problems spiegelt von einem informellen Standpunkt aus die Schwierigkeit wieder, aus der Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl deren Primfaktorenzerlegung zu ermitteln. Diese oder eine ähnliche Art der Fragestellung ist Quelle vieler wichtiger offener Probleme in der Mathematik und Informatik, wie etwa die Konstruktion von normalen Zahlen, die Analyse von Pseudo-Zufalls- und Komplexitätsmaßen oder die Suche nach optimalen Diskrepanzabschätzungen für digitale (oder anderer) Quasi-Zufallsfolgen. All diese Fragestellungen sind jedenfalls im Forschungskonzept dieses Projekts verankert. Das österreichisch-französische Konsortium besteht auch 11 Wissenschaftler/inne/n, die in Graz, Linz, Wien, Bordeaux, Calais, Marseille und Nancy arbeiten. Insbesondere soll im Rahmen dieses gemeinsamen Projekts ihre langjährige erfolgreiche Zusammenarbeit fortgesetzt und intensiviert werden. Ein wichtiger Aspekt dieses gemeinsamen Projekts ist es auch, einigen jungen Post- Docs in Form einer Anstellung, die teils in Österreich und teils in Frankreich erfolgt, eine breit angelegte Forschungsperspektive zu ermöglichen. Weiters werden regelmäßig Workshops und Meetings veranstaltet.

Das Ziel dieses österreichisch-französischen Projekts war es, Fortschritte bei mathematischen Problemen zu erzielen, wo Zufälligkeit (bzw.Pseudo-Zufälligkeit) in deterministischen Zusammenhängen auftritt, insbesondere im Kontext der analytischen Zahlentheorie, der Wort-Kombinatorik, der Automatentheorie, von Quasi-Zufallszahlen und verwandter Disziplinen. Viele grundlegende Probleme lassen sich hier einordnen. Beispielsweise ist die klassische Möbiusfunktion zwar für sich eine deterministische Funktion, besitzt aber zahlreiche Eigenschaften zufälliger Folgen. In diesem Zusammenhang interessieren wir und für die asymptotische Unabhängigkeit zwischen der Möbiusfunktion und anderer deterministischen Funktionen, die etwa von einem dynamischen System mit verschwindender Entropie oder durch einen simplen Algorithmus aus der Binärdarstellung erzeugt werden. Die Schwierigkeit dieses Problems spiegelt von einem informellen Standpunkt aus die Schwierigkeit wieder, aus der Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl deren Primfaktorenzerlegung zu ermitteln. Diese oder eine ähnliche Art der Fragestellung ist Quelle vieler wichtiger offener Probleme in der Mathematik und Informatik, Im speziellen erwähnen wir hier eine Vermutung von Peter Sarnak (IAS). Das österreichisch-französische Konsortium bestand aus elf Wissenschaftler/inne/n, die in Graz, Linz, Wien, Bordeaux, Calais, Marseille und Nancy arbeiten. Wie am Antrag vorgesehen wurden einige Postdoc's sowohl in Frankreich als auch in Österreich angestellt. Weiters wurden im Rahmen des Projekts fünf Dissertation betreut, zwei davon in Form einer Cotutelle zwischen Frankreich und Österreich. Das Konsortium hat im Rahmen des Projekts mehr als 60 Peer-referierte wissenschaftliche Arbeiten publiziert (davon mehr als 30 mit österreichischer Beteiligung) sowie sechs wissenschaftlich Tagungen und Workshops, die Themen des Projekts betreffen, (mit-)organisiert. Von den erzielten wissenschaftlichen Ergebnissen möchten wir insbesondere jene besonders erwähnen, die die Sarnak-Vermutung und sogenannte automatische Folgen betreffen. Automatische Folgen werden von einem endlichen Automaten mit Hilfe der Ziffernentwicklung (zB der binären oder dekadischen) einer positiven Zahl ermittelt. Das prominenteste Beispiel einer automatischen Folge ist die Thue-Morse-Folge. In einer gemeinsamen Arbeit zwischen französichen und österreichischen Konsortiumsmitgliedern wurde zunächst die Sarnak-Vermutung sowie ein entsprechender Primzahlensatz for automatische Folgen bewiesen, die auf einem synchronisierenden Automaten beruhen. Mit Hilfe einer sehr feinen Analyse der zugrundelegenden Graphen konnte schließlich die die Sarnak-Vermutung für alle automatischen Folgen bewiesen werden. Weiters wurde - ebenfalls in einer gemeinsamen Arbeit - die Teilfolge der Thue-Morse-Folge entlang Quadraten untersucht und bewiesen, dass diese eine normale Folge bildet, also jedes n-Tupel mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit in dieser Teilfolge auftritt. Dies führt zu einer einfachen (und vor allem neuen) Konstruktion normaler Folgen. Diese beiden Ergebnisse waren vor MuDeRa weit außerhalb der Reichweite. Weitere Information findet man auf der Webseite: http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Thomas.Stoll/MuDeRa/