Zahlen und Zufall

Dies österreichisch-französische Projekt "Zahlen und Zufall" (Aléa arithmétique, Arithmetic Randomness, ArithRand) wird wichtige offene Vermutungen und Fragen im Bereich analytische, metrische, probabilistische und additive Zahlentheorie studieren und versuchen, Fortschritt bei den Antworten zu erzielen. Die Probleme behandeln zufallsähnliche Phänomene innerhalb arithmetischer Probleme. Ein Hauptfokus liegt auf Verteilungsfragen von Primzahlen, ihren Darstellungen in Ziffernsystemen, und Problemen der Diophantischen Approximation. Moderne kryptographische Systeme basieren vielfach auf Primzahlen und zufallsähnlich generierten Zahlen. Es ist daher wichtig, die zugrundeliegenden Häufigkeiten zu verstehen, und zu analysieren, wie "zufällig" die erzeugten Zahlen sind. Eine der wichtigsten offenen Fragen in diesem Gebiet ist die vielstudierte Sarnak-Vermutung. Diese besagt, dass die Möbiusfunktion von Folgen, die von deterministischen dynamischen Systemen erzeugt werden, völlig unabhängig ist. Die Möbiusfuntion mu enthält sehr viel Information über Primzahlen: Die Werte mu(n) sind 1, -1, oder 0, je nachdem ob n aus einer geraden Anzahl von verschiedenen Primfaktoren besteht, oder einer ungeraden Anzahl, oder ob n auch mindestens zwei gleiche Primfaktoren enthält. Es gibt wichtige Teilergebnisse, u.a. durch das Mitglied des Teams, C. Müllner. Er bewies die Vermutung für "automatische Folgen", das sind (vereinfacht gesagt) Folgen bei denen die Werte f(n) insbesondere von den Ziffern von n abhängen. Dies ist eine Kooperation von Forschern der TU Graz und TU Wien mit Kollegen aus Nancy, Marseille, Bordeaux, St. Etienne und Calais,