Hyperbolische und pseudo-hyperbolische Strukturen

Die hyperbolische Geometrie ist die Geometrie des Raums mit konstanter negativer Krümmung. Ihre Rolle wurde durch die Entdeckung von William Thurston in den 1970er Jahren hervorgehoben: Den meisten dreidimensionalen Formen kann eine kanonische hyperbolische Struktur zugewiesen werden, was ihre Untersuchung erheblich vereinfacht. Sie hat eine verwandte Form, die Anti-de-Sitter-Geometrie, die Geometrie der Raumzeit mit konstanter negativer Krümmung. In den 1990er Jahren nutzte Geoffrey Mess Thurstons Ideen auf brillante Weise, um dreidimensionale Anti-de-Sitter-Raumzeiten zu klassifizieren, die in Theorien der Quantengravitation Anwendung finden. In jüngster Zeit begannen Mathematiker, allgemeine pseudo-hyperbolische Geometrien zu untersuchen, also Geometrien von Raumzeiten mit beliebiger Raum- und Zeitdimension und konstanter negativer Krümmung. Motiviert wurde dies durch Anwendungen in der Theorie der Lie-Gruppen, die sich mit dem Begriff der Geometrie im weiteren Sinne befasst und breite Anwendung in Mathematik und Physik findet. Dieses Projekt untersucht verschiedene offene Fragen zu pseudo-hyperbolischen Raumzeiten und zielt darauf ab, unser Verständnis ihrer Eigenschaften zu verbessern. Beispielsweise untersuchen wir, wie die Geometrie von Anti-de-Sitter-Raumzeiten durch die intrinsische Geometrie ihrer raumartigen Scheiben bestimmt wird, und versuchen zu verstehen, wann die Geometrie pseudo-hyperbolischer Raumzeiten nicht-trivial deformiert werden kann.