Logik und Wahrscheinlichkeit

In der mathematischen Logik erforscht man jede Art von Problemen des formalen Schließens. In der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht man Formalisierungen von Begriffen wie Zufälligkeit, Chance, Wahrscheinlichkeit, und Erwartung. Es gibt zahlreiche Verbindungen dieser beiden Themen, so zum Beispiel die mathematischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeit und Maßtheorie, die Studien der Induktion und Lerntheorien, die computationalen Theorien der Wahrscheinlichkeit, oder die Diskussion formaler Systeme für verschiedene Aspekte des probabilistischen Schließens. Ein Thema des vorliegenden Projektes ist die Erforschung einer Wahrscheinlichkeitslogik die auf Valiants Pac- Modell der Induktion basiert. Hierbei liegt unser Interesse nicht so sehr in der Modellierung der Induktion als in den fundamentalen mathematischen Eigenschaften der Logik, wie die Struktur ihrer Modelle und ihre beweistheoretischen und computationalen Eigenschaften. Ein weiteres Thema unseres Interesses in diesem Kontext ist die Erforschung algorithmischer Wahrscheinlichkeit. Diese Kombination von Berechenbarkeits- und Wahrscheinlichkeitstheorie fand in den 1960ern ihren Ausdruck in verschiedensten Formen, mit großartigen Interaktionen zwischen den diesen Formen zugrunde liegenden Intuitionen. Als Beispiel kann man die Interaktion zwischen der Intuition dass ein Zufallsobjekt nicht komprimierbar ist (eine Definition die in den Bereich der Kolmogorovkomplexität führt) und der der klassischen Maßtheorie zugrundeliegenden Intuitionen angeben. In den letzten Jahren ist die Forschung in diesem Gebiet sehr lebhaft betrieben worden, mit zahlreichen neuen fundamentalen Einsichten basierend auf der Berechenbarkeitstheorie. Wir planen diese Forschung der algorithmischen Zufallsreihen und deren Anwendungen in der Berechenbarkeitstheorie fort zu setzen.