Ganzwertige Polynome auf Algebren

Wir untersuchen zwei Arten von Ringen von Polynomen, welche die Elemente einer Algebra auf Elemente derselben Algebra abbilden. Beide sind Verallgemeinerungen der klassischen ganzwertigen Polynome. Ein Beispiel der ersten, kommutativen, Art von Ring ist der Ring jener Polynome mit rationalen Koeffizienten, welche jede ganzzahlige n mal n Matrix auf eine ganzzahlige Matrix abbilden. Ein Beispiel der zweiten, nicht kommutativen, Art von Ring ist der Ring jener Polynome mit Koeffizienten in der Algebra der n mal n rationalen Matrizen, welche jede ganzzahlige n mal n Matrix auf eine ganzzahlige Matrix abbilden. Wie im Fall der klassischen ganzwertigen Polynome, betreffen die Fragestellungen den ganzen Abschluss, die Prüfer Eigenschaft und das Spektrum der untersuchten Ringe, sowie Punktetrennung und polynomial dichte Mengen. Wir untersuchen auch den in der algebraischen K-theorie fundamentalen Dimensionsbegriff des stable rank für Ringe von ganzwertigen Polynomen. Beide Arten von Ringen von ganzwertigen Polynomen auf Algebren erfordern eine neuartige Kombination von Methoden der kommutativen Ringtheorie und der nicht-kommutativen Ringtheorie zu ihrem Studium. Außerdem sind sie geeignet, Ringe mit gewissen vorgegebenen Eigenschaften (z.B. in Bezug auf nicht-eindeutige Faktorisierung) zu konstruieren.

Wir haben in diesem Projekt Grundlagenforschung in abstrakter Algebra (Gruppentheorie und Ringtheorie) betrieben, und mit Hilfe der abstrakten Gruppen- und Ringtheorie Fragen der Faktorisierung in Ringen von ganzwertigen Polynomen und Fragen zur Struktur von Gruppen von Polynompermutationen auf endlichen Ringen beantworten können.