Herausforderungen fürs WIDE-Variationsprinzip

Nichtlineare Evolutionsgleichungen sind allgegenwärtig in den Anwendungen und werfen eine Vielzahl herausfordernder mathematischer Fragen auf, von der Existenz von Lösungen bis hin zu ihrer Regularität. Variationsmethoden bieten weitreichende Modellierungs- und Analysewerkzeuge. Unter diesen hat sich der WIDE-Ansatz (Weighted Inertia-Energy- Dissipation) bereits in einer Reihe klassischer Situationen bewährt. Der WIDE-Variationsansatz besteht aus der Minimierung eines parameterabhängigen Funktionals, das global in der Zeit ist, und einem Übergang zum Grenzwert im Parameter. Es soll gezeigt werden, dass Minimierer dieses parameterabhängigen Funktionals zu Lösungen des ursprünglichen nichtlinearen Evolutionsproblems konvergieren. Dieser globale Variationsansatz ermöglicht es, die vielseitigen Werkzeuge der Variationsrechnung, wie die direkte Methode, Gamma-Konvergenz und Relaxation, auf nichtlineare Evolutionsprobleme anzuwenden. Dadurch werden neuartige Existenz- und Approximationstheorien entstehen. Ziel des Projekts ist es, die Anwendbarkeit des WIDE-Variationsprinzips auf eine Reihe aktueller und anspruchsvoller Forschungsfronten zu überprüfen. Dazu gehören nichtlineare Flüsse, stochastische partielle Differentialgleichungen, Erhaltungssätze, Fluiddynamik sowie optimale Steuerungsprobleme. Das Programm wird von einem neu geründeten internationalen Forschungsteam entwickelt, das von Ulisse Stefanelli in Zusammenarbeit mit Goro Akagi (Sendai), Takeshi Fukao (Kyoto) und Hao Wu (Shanghai) koordiniert wird. Keywords: Evolutionsgleichungen, globale Variationsmethoden, nichtlineare Flüsse, stochastische PDEs, Erhaltungssätze, Fluiddynamik, optimale Steuerung.

Nichtlineare Evolutiongleichungen treten in wissenschaftlichen Anwendungen allgegenwärtig auf und stellen eine Vielzahl herausfordernder mathematischer Fragen, von der Existenz bis hin zur Regularität. Die Variationsanalyse bietet ein leistungsstarkes Instrumentarium für Modellierung und Analyse. Unter den variationellen Methoden hat sich der Weighted Inertia-Energy-Dissipation (WIDE)-Ansatz als besonders effektiv für eine breite Palette von Problemen erwiesen. Aus technischer Sicht besteht der WIDE-Variationsmethode darin, ein parameterabhängiges, global-in-der-Zeit-Funktional zu minimieren und anschließend den Grenzübergang im Parameter zu ziehen. Ziel ist es zu zeigen, dass die Minimierer dieses Funktionals gegen Lösungen des nichtlinearen Differentialproblems im Limes konvergieren. Dies führt zu einer neuartigen variationalen Approximationstechnik und ermöglicht, Variationsrechnung auf nichtlineare Evolutionsgleichungen anzuwenden. Das Projekt hatte zum Ziel, die Anwendbarkeit des WIDE-Ansatzes über seine bisherigen Einsatzgebiete hinaus zu erweitern und ihn auf verschiedene aktuelle Forschungsfragen anzuwenden. Wir konnten zeigen, dass der WIDE-Ansatz für doppelt nichtlineare Flüsse, stochastische partielle Differentialgleichungen, die Navier-Stokes-Gleichungen und bestimmte optimale Steuerungsprobleme geeignet ist. In all diesen Bereichen konnten wir neue Approximations- und Existenzresultate ableiten. Das Programm profitierte von der Zusammenarbeit mit einer internationalen Gruppe von Forschern, darunter Goro Akagi (Tohoku), Takeshi Fukao (Ryukoku), Luca Scarpa (Politecnico Milano), und Hao Wu (Fudan).