Problemorientiert Virtual Element Methoden

In diesem Projekt beschäftigen wir uns mit der Approximation von Lösungen für Differentialgleichungen, welche physikalische Phänomene von der Wellenausbreitung über die Elektrostatik bis hin zur Rissausbreitung modellieren. Die zugrunde liegende Methode, die wir verwenden werden, wird als Virtuelle-Elemente-Methode bezeichnet. Dies ist eine Verallgemeinerung der traditionelleren Finite-Elemente-Methode auf polygonale und polyedrische Elemente. Das Hauptziel dieses Projekts ist die Einführung neuartiger Techniken, um die oben genannten Probleme auf effiziente Weise zu behandeln. Wenn wir zum Beispiel wissen, dass sich die exakte Lösung wie eine Welle verhält, betrachten wir endlichdimensionale Approximationsräume, die oszillierende Funktionen enthalten. Wenn die exakte Lösung ein singuläres Verhalten aufweist, betrachten wir stattdessen endlichdimensionale Räume, die singuläre Funktionen enthalten. Zusätzlich untersuchen wir sogenannte adaptive Methoden zur Approximation singulärer Lösungen mittels Flussrekonstruktion. Grob gesagt ist eine adaptive Methode eine Methode, die versucht, das Verhalten der exakten Lösung mit möglichst wenigen Parametern zu erfassen. Die Verwendung der Flussrekonstruktionstechnik im Bereich der Virtuellen-Elemente-Methode ist neu, welche zu einer Verbesserung anderer in der Literatur existierender Techniken führt.

In diesem Projekt haben wir uns der Herausforderung gestellt, Lösungen für eine Reihe partieller Differentialgleichungsprobleme zu approximieren, die häufig in der Modellierung physikalischer Phänomene auftreten, darunter Elastizität, Wärmeleitung, Elektromagnetismus und Magnetohydrodynamik. Der Hauptansatz war die Virtuelle Elementmethode (VEM), eine Verallgemeinerung der Finite-Elemente-Methode (FEM), die ihre Anwendbarkeit auf polytope Netze ausdehnt. Diese Flexibilität ermöglicht es der VEM, komplexe Geometrien effektiver zu modellieren und eine höhere Genauigkeit zu erzielen, besonders in Fällen, in denen die traditionelle FEM bei nichtstandardisierten oder unregelmäßigen Bereichen Schwierigkeiten hat. Das Hauptziel war, neuartige Techniken zu entwickeln und umzusetzen, um die Effizienz und Genauigkeit der VEM bei der Anwendung auf die genannten physikalischen Probleme zu steigern. Dabei konzentrierten wir uns auf die Entwicklung verfeinerter Approximationsräume, die auf die Eigenschaften der exakten Lösung abgestimmt sind. Bei Problemen mit Singularitäten, wie bei der Elastizität, setzten wir endlich-dimensionale VE-Räume ein, die singuläre Funktionen beinhalten, um die Singularitäten der Lösung präziser zu erfassen und die Gesamtgenauigkeit der Approximation zu verbessern. Für parabolische Probleme, wie Wärmeleitung, führten wir VE-Räume ein, die sowohl die Raum- als auch die Zeitentwicklung monolithisch abbilden, wodurch Genauigkeit und Stabilität im gesamten Lösungsbereich gesteigert werden, indem die Kopplung zwischen räumlichen und zeitlichen Variablen besser gehandhabt wird. Ein weiterer wichtiger Aspekt war die Untersuchung adaptiver Methoden zur Approximation singulärer Lösungen, insbesondere durch Flussrekonstruktions-Techniken. Adaptive Methoden passen den Rechenaufwand an das lokale Verhalten der Lösung an und minimieren so die erforderlichen Parameter für eine präzise Approximation. Dies ist besonders nützlich, um scharfe Gradienten oder Singularitäten mit minimalem Aufwand zu erfassen. Die in der VEM eingesetzte Flussrekonstruktions-Technik war eine zentrale Innovation in unserer Arbeit. Durch diese Entwicklungen haben wir die Effizienz, Genauigkeit und Flexibilität der VEM zur Lösung vielfältiger Differentialprobleme verbessert. Dadurch entstand ein leistungsfähigeres Werkzeug für Forscher und Ingenieure, die mit komplexen physikalischen Systemen arbeiten, und ermöglicht hochpräzise Simulationen realer Phänomene in der Ingenieurwissenschaft und Physik.