Affine Geometrie auf Lie Gruppen,Lie-algebraische Strukturen

Dieses Projekt gehört zur Grundlagenforschung im Bereich Algebra und Geometrie. Insbesondere geht es um Verbindungen zwischen diesen beiden Gebieten. Wenn man an Geometrie denkt, so fallen einem vermutlich zuerst Begriffe wie Gerade, Kreis, W\"urfel, Sphäre, Kurve, Fläche und so weiter ein. Wenn man mit diesen Dingen mathematisch arbeiten will, muss man in der Lage sein, sie sehr exakt zu beschreiben, so dass man ihre Interaktionen und Eigenschaften verstehen und berechnen kann. Es stellt sich heraus, dass man dazu alleine mit geometrischen Werkzeugen nicht in der Lage ist. Berechnungen mit Geraden, Kreisen, Ellipsen als geometrische Objekte für sich genommen erscheinen unmöglich. Um dieses Hinderniss zu überwinden, hat man versucht, algebraische Systeme einzuführen, mit denen man die geometrischen Fragen in berechenbare Fragen übersetzen kann. Das bekannteste Beispiel dazu ist die Einführung eines Koordinatensystems. So kann man jeden Punkt in der Ebene durch zwei Koordinaten, also Zahlen beschreiben, der horizontalen und der vertikalen Position, und damit Geraden, Kreise, Ellipsen und so weiter durch algebraische Gleichungen beschreiben und berechnen. Das geht auch im Raum, oder ganz abstrakt in jeder Dimension. Natürlich kann man noch viel weiter gehen, als nur ein Koordinatensystem einzuführen, wo man mit Zahlen rechnen kann. In unserem Projekt werden dazu nicht nur Zahlen, sondern auch Gruppen und Algebren verwendet. Das sind kompliziertere Strukturen, die aber sehr gut dazu geeignet sind, um geometrische Probleme exakt zu beschreiben und algebraisch berechenbar zu machen. Wir wollen in unserem Projekt solche Strukturen untersuchen, inbesondere Lie Gruppen und Lie Algebren, die nach dem Norweger Sophus Lie benannt sind. Das Ziel ist es, fundamentale Einsichten über geometrische Zusammenhänge zu erhalten, durch das Studium der entsprechenden algebraischen Strukturen.

PR-Zusammenfassung Dieses Projekt hat Problemstellungen im Bereich Algebra und Geometrie untersucht, und zwar mit besonderer Berücksichtigung der Verbindung dieser beiden Gebiete. Der Norwegische Mathematiker Sophus Lie hat algebraische Strukturen eingeführt, sogenannte Lie Algebren, mit denen man geometrische Strukturen algebraisch berechenbar machen kann. Geometrische Strukturen an sich sind oft schwierig zu berechnen oder zu klassifizieren. Die Idee, mit algebraischen Methoden zu arbeiten hat auch in der Physik grossen Anklang gefunden. Symmetriegruppen, die in der Physik Erhaltungssätze und die fundamentalen Gesetze der Natur beschreiben, sind of Lie Gruppen, die durch ihre Lie Algebren verstanden werden können. In dem Projekt haben wir algebraische Strukturen untersucht, die solche Lie Algebra Strukturen in natürlicher Form verallgemeinern, und Aussagen zur Existenz gewisser geometrischer Strukturen möglich machen. Die Frage, ob gewisse geometrische Strukturen auf vorgegebenen Räumen existieren können ist im allgemeinen sehr anspruchvoll. Weiterhin möchte man dann, falls eine solche geometrische Struktur existiert, auch alle solchen Strukturen bestimmen. Zu diesen Fragen haben wir wichtige Ergebnisse erzielt.