Affine Geometrie auf Lie Gruppen,Lie-algebraische Strukturen
Affine geometry on Lie groups and Lie-algebraic structures
Wissenschaftsdisziplinen
Mathematik (100%)
Keywords
-
Nil-affine structures,
Post-Lie algebras,
Rota-Baxter operators,
Almost-inner derivations,
Lie algebra cohomology,
Etale representations
Dieses Projekt gehört zur Grundlagenforschung im Bereich Algebra und Geometrie. Insbesondere geht es um Verbindungen zwischen diesen beiden Gebieten. Wenn man an Geometrie denkt, so fallen einem vermutlich zuerst Begriffe wie Gerade, Kreis, W\"urfel, Sphäre, Kurve, Fläche und so weiter ein. Wenn man mit diesen Dingen mathematisch arbeiten will, muss man in der Lage sein, sie sehr exakt zu beschreiben, so dass man ihre Interaktionen und Eigenschaften verstehen und berechnen kann. Es stellt sich heraus, dass man dazu alleine mit geometrischen Werkzeugen nicht in der Lage ist. Berechnungen mit Geraden, Kreisen, Ellipsen als geometrische Objekte für sich genommen erscheinen unmöglich. Um dieses Hinderniss zu überwinden, hat man versucht, algebraische Systeme einzuführen, mit denen man die geometrischen Fragen in berechenbare Fragen übersetzen kann. Das bekannteste Beispiel dazu ist die Einführung eines Koordinatensystems. So kann man jeden Punkt in der Ebene durch zwei Koordinaten, also Zahlen beschreiben, der horizontalen und der vertikalen Position, und damit Geraden, Kreise, Ellipsen und so weiter durch algebraische Gleichungen beschreiben und berechnen. Das geht auch im Raum, oder ganz abstrakt in jeder Dimension. Natürlich kann man noch viel weiter gehen, als nur ein Koordinatensystem einzuführen, wo man mit Zahlen rechnen kann. In unserem Projekt werden dazu nicht nur Zahlen, sondern auch Gruppen und Algebren verwendet. Das sind kompliziertere Strukturen, die aber sehr gut dazu geeignet sind, um geometrische Probleme exakt zu beschreiben und algebraisch berechenbar zu machen. Wir wollen in unserem Projekt solche Strukturen untersuchen, inbesondere Lie Gruppen und Lie Algebren, die nach dem Norweger Sophus Lie benannt sind. Das Ziel ist es, fundamentale Einsichten über geometrische Zusammenhänge zu erhalten, durch das Studium der entsprechenden algebraischen Strukturen.
PR-Zusammenfassung Dieses Projekt hat Problemstellungen im Bereich Algebra und Geometrie untersucht, und zwar mit besonderer Berücksichtigung der Verbindung dieser beiden Gebiete. Der Norwegische Mathematiker Sophus Lie hat algebraische Strukturen eingeführt, sogenannte Lie Algebren, mit denen man geometrische Strukturen algebraisch berechenbar machen kann. Geometrische Strukturen an sich sind oft schwierig zu berechnen oder zu klassifizieren. Die Idee, mit algebraischen Methoden zu arbeiten hat auch in der Physik grossen Anklang gefunden. Symmetriegruppen, die in der Physik Erhaltungssätze und die fundamentalen Gesetze der Natur beschreiben, sind of Lie Gruppen, die durch ihre Lie Algebren verstanden werden können. In dem Projekt haben wir algebraische Strukturen untersucht, die solche Lie Algebra Strukturen in natürlicher Form verallgemeinern, und Aussagen zur Existenz gewisser geometrischer Strukturen möglich machen. Die Frage, ob gewisse geometrische Strukturen auf vorgegebenen Räumen existieren können ist im allgemeinen sehr anspruchvoll. Weiterhin möchte man dann, falls eine solche geometrische Struktur existiert, auch alle solchen Strukturen bestimmen. Zu diesen Fragen haben wir wichtige Ergebnisse erzielt.
- Universität Wien - 100%
Research Output
- 8 Zitationen
- 18 Publikationen
- 3 Wissenschaftliche Auszeichnungen
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2025
Titel Central extensions of axial algebras DOI 10.1016/j.jalgebra.2024.09.001 Typ Journal Article Autor Kaygorodov I Journal Journal of Algebra -
2025
Titel Characteristically nilpotent Lie groups with flat coadjoint orbits Typ Journal Article Autor Burde Journal Journal of Lie Theory Seiten 227-237 Link Publikation -
2024
Titel Post-Lie algebra structures for perfect Lie algebras. DOI 10.1080/00927872.2024.2344638 Typ Journal Article Autor Burde D Journal Communications in algebra Seiten 4255-4267 -
2024
Titel Modularity conditions in Leibniz algebras DOI 10.1142/s0219498825501919 Typ Journal Article Autor Páez-Guillán P Journal Journal of Algebra and Its Applications -
2024
Titel Post-Lie algebra structures and decompositions of Lie algebras. Typ PhD Thesis Autor Mina Monadjem Link Publikation -
2022
Titel Counterexamples to the Zassenhaus conjecture on simple modular Lie algebras DOI 10.48550/arxiv.2209.14822 Typ Preprint Autor Burde D -
2022
Titel Rigidity results for Lie algebras admitting a post-Lie algebra structure DOI 10.1142/s0218196722500679 Typ Journal Article Autor Burde D Journal International Journal of Algebra and Computation Seiten 1495-1511 Link Publikation -
2022
Titel One-Generated Nilpotent Bicommutative Algebras DOI 10.1142/s1005386722000359 Typ Journal Article Autor Kaygorodov I Journal Algebra Colloquium Seiten 453-474 Link Publikation -
2022
Titel Semisimple decompositions of Lie algebras and prehomogeneous modules DOI 10.48550/arxiv.2201.08758 Typ Preprint Autor Burde D -
2022
Titel Central extensions of axial algebras DOI 10.48550/arxiv.2211.00334 Typ Preprint Autor Kaygorodov I -
2023
Titel Sympathetic Lie algebras and adjoint cohomology for Lie algebras DOI 10.1016/j.jalgebra.2023.03.034 Typ Journal Article Autor Burde D Journal Journal of Algebra -
2023
Titel Counterexamples to the Zassenhaus conjecture on simple modular Lie algebras DOI 10.1016/j.jalgebra.2023.04.005 Typ Journal Article Autor Burde D Journal Journal of Algebra -
2023
Titel On the subalgebra lattice of a restricted Lie algebra DOI 10.1016/j.laa.2022.12.004 Typ Journal Article Autor Páez-Guillán P Journal Linear Algebra and its Applications -
2023
Titel Modularity conditions in Leibniz algebras DOI 10.48550/arxiv.2305.15530 Typ Preprint Autor Páez-Guillán P Link Publikation -
2023
Titel Post-Lie algebra structures for perfect Lie algebras DOI 10.48550/arxiv.2311.08985 Typ Preprint Autor Burde D Link Publikation -
2022
Titel Rigidity results for Lie algebras admitting a post-Lie algebra structure DOI 10.48550/arxiv.2205.04218 Typ Preprint Autor Burde D -
2022
Titel The structure of Lie algebras with a derivation satisfying a polynomial identity DOI 10.1080/00927872.2022.2069791 Typ Journal Article Autor Burde D Journal Communications in Algebra Seiten 4636-4647 Link Publikation -
2022
Titel Semisimple decompositions of Lie algebras and prehomogeneous modules DOI 10.1016/j.jalgebra.2022.04.015 Typ Journal Article Autor Burde D Journal Journal of Algebra Seiten 664-681 Link Publikation
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2025
Titel Main speaker Typ Personally asked as a key note speaker to a conference Bekanntheitsgrad Continental/International -
2023
Titel Main speaker Typ Personally asked as a key note speaker to a conference Bekanntheitsgrad Continental/International -
2021
Titel Pre-Lie algebras and geometric structures Typ Personally asked as a key note speaker to a conference Bekanntheitsgrad Continental/International