Grenzflächenevolution durch Krümmung und verbundene Probleme

In vielen natürlichen und technologischen Prozessen verändern sich Formen im Laufe der Zeit. Beispiele sind die Bewegung von Seifenhäuten, das Wachsen oder Schrumpfen von Kristallen, die Entmischung von Materialien oder das Glätten von Bildern in der Computergrafik. In all diesen Fällen bewegt sich die Grenzfläche einer Form mit einer Geschwindigkeit, die von ihrer Krümmung abhängt. Solche Bewegungen zu verstehen, ist sowohl für die Beschreibung physikalischer Phänomene als auch für die Entwicklung verlässlicher mathematischer Modelle wichtig. Dieses Projekt vertieft das mathematische Verständnis krümmungsgetriebener Evolution in mehreren anspruchsvollen Richtungen. 1. Formen mit mehreren Regionen. Viele Materialien bestehen aus mehreren Phasen, deren Grenzflächen Netzwerke bilden, die sich an Knoten treffen und Winkel oder Singularitäten besitzen können. Wir untersuchen, wie sich solche mehrphasigen kristallinen Netzwerke entwickeln, wie Singularitäten entstehen oder verschwinden und wie selbstähnliche Lösungen (Self-Shrinker) aussehen. Zudem analysieren wir, welche Zerlegungen der Ebene den Umfang minimieren, wenn eine bevorzugte Richtung etwa bei quadratischen oder hexagonalen Kristallen die Geometrie beeinflusst. 2. Strömungen, die Formen glätten. Ein weiterer Schwerpunkt ist der Gradientfluss der Totalvariation, ein Modell zum Glätten unregelmäßiger Formen oder Signale. Dieser Fluss steht in engem Zusammenhang mit der mittleren Krümmungsströmung. Wir erforschen Fragen der Existenz, der Regularität in der Zeit, der Energieabnahme und der Bewegung der Sprungmenge, also jener Bereiche, in denen eine Funktion scharfe Kanten besitzt. 3. Verbindungen zu Phasenfeldmodellen. In Physik und numerischer Simulation werden gekrümmte Grenzflächen oft durch Phasenfeldmodelle angenähert. Sie sind einfacher zu berechnen, aber schwerer mathematisch zu verstehen. Wir untersuchen, wie gut solche diffusen Modelle die tatsächliche geometrische Bewegung erfassen, und gehen dabei Vermutungen von De Giorgi zur Genauigkeit dieser Approximationen nach. Das Projekt entwickelt neue Ideen und adressiert offene Fragen, die im Zentrum der modernen geometrischen Analyse stehen. Unsere Methoden verbinden Werkzeuge aus geometrischer Maßtheorie, Variationsrechnung, nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen und der Theorie sich entwickelnder Netzwerke. Erste Resultate sind bereits vielversprechend. Das Projekt beinhaltet Kooperationen mit den international führenden Experten Prof. Giovanni Bellettini (U. Udine und ICTP Triest) und Prof. Matteo Novaga (U. Pisa) und umfasst die Ausbildung einer Doktorandin bzw. eines Doktoranden, wodurch die Forschungsumgebung an der Universität Wien gestärkt wird.