Geometrische Integratoren: Offene Fragen - neue Perspektiven

Evolutionsgleichungen sind wesentliche Mittel zur mathematischen Beschreibung dynamischer Prozesse und somit von hoher Relevanz in verschiedenen Anwendungsgebieten. Hamilton-Systeme und zeitabhängige Schrödingergleichungen zählen zu bewährten Modellen für klassische und quantenphysikalische Systeme. Die Komplexität dieser Klassen gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen macht computergestützte Simulationen unverzichtbar, und ihre vielfältigen strukturellen Besonderheiten erfordern den Einsatz innovativer numerischer Integrationsverfahren. Grundlegende Anforderungen an numerische Integratoren für Evolutionsgleichungen spiegeln sich in den Begriffen Stabilität und Genauigkeit wider. Im Zusammenhang mit Simulationen physikalischer Systeme sind zusätzliche Aspekte zu berücksichtigen, um zuverlässige und aussagekräftige Ergebnisse zu gewährleisten. Charakteristisch für Hamilton-Systeme und Schrödingergleichungen ist die Erhaltung fundamentaler Größen wie Gesamtteilchenzahl und Gesamtenergie. Dementsprechend ist es wünschenswert, sogenannte geometrische numerische Integratoren zu entwerfen, die diese Größen in angemessener Art und Weise über lange Zeiträume hinweg bewahren. Weitere relevante Eigenschaften numerischer Integratoren in Hinblick auf praktische Implementierungen für hochdimensionale Modelle und Multiskalenprobleme sind die Machbarkeit für verfügbare Rechen- und Speicherkapazitäten sowie die Effizienz in vorgegebenen Toleranzbereichen. Unser Forschungsprojekt widmet sich der Entwicklung und theoretischen Analyse numerischer Integratoren für verschiedene Klassen von Evolutionsgleichungen. Hauptziele sind die Konstruktion und Implementierung zuverlässiger und effizienter geometrischer Integratoren für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, die in der Quantenphysik und anderen Bereichen auftreten. Dieses Ziel geht Hand in Hand mit theoretischen Untersuchungen, der Entwicklung frei verfügbarer Forschungscodes und umfassenden numerischen Tests. Hinsichtlich des Anwendungsspektrums liegt unser Fokus auf zeitabhängigen Schrödingergleichungen und ähnlich strukturierten partiellen Differentialgleichungen. Dies umfasst insbesondere die Untersuchung linearer sowie nichtlinearer und autonomer sowie nichtautonomer Evolutionsgleichungen. Hinsichtlich der betrachteten Klassen numerischer Integratoren liegt unser Schwerpunkt auf Modifikationen exponentieller Operator-Splitting-Methoden und Magnus- Integratoren mit inhärenten Vorteilen für komplexe und hochdimensionale Anwendungen. Unsere zentralen wissenschaftlichen Hypothesen sind, dass diese Klassen geometrischer Integratoren die Entwicklung neuer Verfahren ermöglichen, die im Allgemeinen vorteilhaft und in bestimmten Situationen herkömmlichen numerischen Integratoren sowie etablierten geometrischen Integratoren überlegen sind. Unser Kernteam besteht aus zwei Nachwuchswissenschaftlern, zwei internationalen Kooperationspartnern und der Projektantragstellerin.