Strukturelle Komplexitätsmaße für grundlegende Theorien

Die Formalisierung von Beobachtungen und Verhalten ist ein integraler Bestandteil der Wissenschaft und ermöglicht es uns, wissenschaftliche Methoden zur Untersuchung natürlicher Phänomene einzusetzen. In der Mathematik geschieht dies durch die Formulierung von Axiomen in geeigneten Logiken, wie beispielsweise der Prädikatenlogik erster Stufe, welche das Verhalten einer zu untersuchenden Struktur oder Operation erfassen sollen. Erste Ergebnisse der mathematischen Logik zeigen jedoch, dass dieses Unterfangen zum Scheitern verurteilt ist. Aus Gödels Vollständigkeitssatz folgt, dass alle außer den trivialsten Axiomatisierungen bzw. Theorien neben dem beabsichtigten Modell, dessen Verhalten wir erfassen wollen, weitere Modelle haben. Betrachten wir beispielsweise die Peano-Arithmetik, die Theorie, die die Mathematik der natürlichen Zahlen erfassen soll: sie verfügt über Modelle mit unendlichen Zahlen. Wie kompliziert sind diese Modelle? Lassen sie sich leicht von unserem beabsichtigten Modell unterscheiden? Und wie kompliziert ist es, die Elemente des Modells zu beschreiben, die nicht beabsichtigte Eigenschaften aufweisen? Dieses Projekt bringt führende Experten für Scott-Analyse und Grundlagen der Mathematik zusammen, um diese Fragen für sogenannte Grundlagentheorien, das heisst Theorien in denen ein großer Teil der modernen Mathematik entwickelt werden kann, formal zu beantworten.