STABILITÄT UND ASYMPTOTIK BEIM OPTIMALEN KONTROLPROBLEM

Die optimale Kontrolltheorie (oder Theorie der optimalen Steuerung) ist ein wichtiger Zweig der angewandten Mathematik mit zahlreichen Anwendungen in den angewandten Wissenschaften, darunter Makroökonomie, Ingenieurwesen und Operations Research. Sie kann sowohl als Erweiterung des Fachgebiets Variationsrechnung als auch als beschränkte unendlichdimensionale Optimierung betrachtet werden, bei der das Ziel darin besteht, die optimale Steuerung für ein dynamisches System zu finden. Dieses vierjährige bilaterale Projekt zwischen der TU Wien (Österreich) und IRMAR, INSA Rennes und LMBA-Brest (Frankreich) findet seine Wurzeln in diesem umfassenden Bereich der Mathematik. Basierend auf den sich ergänzenden Fachkenntnissen der beteiligten Forschungsteams strebt das Projekt bedeutende Fortschritte in Themenbereichen wie partiellen Differentialgleichungen (PDE), Variationsanalyse und Dynamik an. Das Projekt fokussiert sich insbesondere auf die Regularitätseigenschaften der Pontryagin-Abbildung, da diese mit der Stabilität einer Referenztrajektorie zusammenhängen. Diese Themen sind für die erfolgreiche Lösung nichtkonvexer Kontrollprobleme von Bedeutung. Um dies zu erreichen, strebt das Projekt parallel dazu neuartige numerische Ansätze an, die indirekte Methoden und neue Optimierungsvorgang nutzen. In einer zweiten Phase bestrebt das Projekt, Kontrollprobleme mit unendlichem Horizont zu untersuchen, indem es alternative Methoden zur Mittelung der laufenden Kosten über unendliche Zeithorizonte rigoros untersucht. Da Kontrollprobleme mit unendlichem Horizont oft nicht ergodisch sind, d. h. mittels dem Verhalten eines bestimmten Systems über die Zeit kann nicht das durchschnittliche Verhalten bestimmt werden, müssen neue, komplexe mathematische Werkzeuge (wie fortgeschrittene Mittelungstechniken) entwickelt werden, um das bestmögliche Ergebnis für Entscheidungsszenarien zu ermitteln, bei denen bestehende mathematische Methoden nicht ausreichen. Das Projekt verbindet zwei mathematische Bereiche miteinander: die Untersuchung von PDEs (die zur Beschreibung von Bewegung oder Energie verwendet werden) und die Variationsanalyse (wie sich Funktionen ändern, und diese zur Optimierung bestimmter Größen wie Energie oder Distanz nutzt). Durch die Verknüpfung dieser Ansätze soll ermittelt werden, wann ein Problem eine eindeutige Lösung hat (Wertfunktion des Kontrollproblems), und dieses mit etablierten Theorien zB der Bestimmung der Steigung, der Theorie der Hamilton-Jacobi-Gleichungen oder der schwachen KAM-Theorie im ergodischen Fall, wie sich Systeme im Laufe der Zeit verhalten, in Verbindung gebracht werden. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass dieser Vorschlag sowohl von theoretischer als auch angewandter Natur ist und die gemeinsame Betreuung von zwei Doktoranden und einem Postdoktoranden umfasst.