Biholomorphic Equivalence: Analysis, Algebra and Geometry

Unter welchen Umständen zwei gegebene Objekte (wie z.B. Gebiete oder deren Ränder) durch eine biholomorphe Abbildung ineinander überzuführen sind, ist die Fragestellung im biholomorphen Äquivalenzproblem. Falls eine solche Abbildung existiert, sind die beiden Objekte weitestgehend als ident zu betrachten (vom Standpunkt der komplexen Analysis zumindest). In einer komplexen Veränderlichen klassifiziert der Riemannsche Abbildungssatz die einfach zusammenhängenden Gebiete in der komplexen Ebene; diese sind entweder die komplexe Ebene selber oder aber äquivalent zur Kreisscheibe. Es gibt keinen Riemannschen Abbildungssatz in mehr Veränderlichen; das biholomorphe Äquivalenzproblem besteht nun in der Klassifizierung der Objekte und der Beschreibung passender Repräsentanten. Das beschriebene Forschungsvorhaben beschäftigt sich vor allem mit biholomorpher Äquivalenz von Rändern von Gebieten. Die grundlegende Frage ist, wann können zwei reell-analytische Hyperflächen durch eine biholomorphe Abbildung ineinander übergeführt werden? Die Beschreibung einer repräsentativen Hyperfläche wird auch oft als Normalformenproblem bezeichnet. Normalformen sollten allerdings nicht nur das Äquivalenzproblem lösen, sondern auch zur Beantwortung analytischer Fragestellungen dienen, wie zum Beispiel ob eine Hyperfläche konvexifizierbar ist, oder ob sie eine plurisubharmonische definierende Funktion besitzt. Viele andere Fragen drängen sich auch auf. Im Moment ist das Äquivalenzproblem nur für Levi-nichtentartete Hyperflächen in Allgemeinheit gelöst. Das beschriebene Forschungsvorhaben beschäftigt sich mit der Fragestellung in entarteten (oder degenerierten) Situationen, welche in Anwendungen natürlich erscheinen.

Das Projekt brachte wichtige Fortschritte im Bereich der Cauchy-Riemann Geometrie, insbesondere im Bereich des Äquivalenzproblems. Wir konnten zeigen, dass die Methode der Jetparametrisierungen zu einem Algorithmus führt, der konstruktiv die biholomorphe Äquivalenz holomorph nicht- degenerierter, minimaler reell-analytischer Cauchy-Riemann Mannigfaltigkeiten entscheiden kann.Weiters konnten wir im Bereich nichtminimaler, reell-analytischer Mannigfaltigkeiten nachweisen, dass Äquivalenz im Sinne glatter Cauchy-Riemann Abbildungen und biholomorphe Äquivalenz nicht übereinstimmen. Diese überraschende Einsicht hat nun starkes Interesse an der Theorie der Äquivalenz nichtminimaler Mannigfaltigkeiten geweckt. Wir konnten inzwischen bereits eine gute Einsicht in die richtigen geometrischen Modelle für nichtminimale Mannigfaltigkeiten gewinnen.Das Projekt hat auch eindrucksvolle Fortschritte in anderen Teilbereichen der Cauchy-Riemann Geometrie und in der Theorie mehrerer komplexer Veränderlicher erzielt, und zu einem fruchtreichen Austausch mit anderen Teilgebieten geführt. So wurde die Theorie der endlichen Bestimmtheit glatter Abbildungen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten entscheidend weiterentwickelt, die Theorie des Levi-Problems in gewissen unbeschrankten Gebieten mit neuen Methoden erkundet, und ein neuer Beweis für den Satz von Faran (vereinigt mit Resultaten von Lebl) über die Klassifikation von holomorphen Abbildungen reeller Quadriken im zwei-dimensionalen komplexen Raum in solche in drei komplexen Dimensionen entwickelt.