Isoperimetrische Struktur von Anfangsdaten der Einstein-Gleichungen

Die Frage nach Isoperimetrie - Welche Form schließt bei fest gegebenem Umfang den größten Flächeninhalt ein? - wurde bereits in der Antike gestellt. In seiner Erzählung Aeneis berichtet Virgil von der phönizischen Königin Dido, die an der Nordküste Afrika so viel Land erhält, wie sie mit aus einem Stück Ochsenfell geschnittener Schnur einfassen kann. Indem sie den Grundriss ihrer berühmten Stadt Karthago kreisförmig und damit bestmöglich anlegt, wird Dido zu einer der ersten großen Heldinnen der Mathematik. Ein Umstand, der Dido hilft, ist, dass die Erdoberfläche positiv gerkrümmt und nicht flach ist. (Das kann man leicht einsehen. Ich lade Sie ein, ein bisschen darüber nachzudenken, warum ihr das zum Vorteil gereicht.) Es stellt sich heraus, dass positive Krümmung sogar dadurch charakterisiert ist, dass eine kleine Scheibe - also die Menge all jener Punkte, die innerhalb einer gegebenen Distanz von einem festen Punkt liegen - ein wenig mehr Fläche einschließt als eine flache Scheibe selben Umfangs. Anders ausgedrückt: Das isoperimetrische Problem im Kleinen bevorzugt positive Krümmung. Die dynamische Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie besagt, dass alles Zukünftige und alles Vergangene bereits in bestimmten drei-dimensionalen Schnitten der Raumzeit - sogenannten Anfangsdaten - enthalten sind. Unter natürlichen Bedingungen ist dann die (skalare) Krümmung solcher Anfangsdaten nichtnegativ. Wir erkennen immer mehr, dass es einen tiefliegenden Zusammenhang zwischen den physikalischen Eigenschaften einer Raumzeit wie etwa ihrer Masse, ihrem Massenzentrum, oder der Form ihres Ereignishorizonts auf der einen Seite und dem isoperimetrischen Problem im Kleinen wie im Großen für Anfangsdaten der Raumzeit auf der anderen Seite gibt. Ziel meiner Forschung ist es, diesen Zusammenhang besser zu verstehen und damit Licht auf einige Fragen an der Schnittstelle von Geometrie und Allgemeiner Relativitätstheorie zu werfen.

Die Frage nach Isoperimetrie - Welche Form schließt bei fest gegebenem Umfang den größten Flächeninhalt ein? - wurde bereits in der Antike gestellt. In seiner Erzählung Aeneis berichtet Virgil von der phönizischen Königin Dido, die an der Nordküste Afrika so viel Land erhält, wie sie mit aus einem Stück Ochsenfell geschnittener Schnur einfassen kann. Indem sie den Grundriss ihrer berühmten Stadt Karthago kreisförmig und damit bestmöglich anlegt, wird Dido zu einer der ersten großen Heldinnen der Mathematik. Ein Umstand, der Dido hilft, ist, dass die Erdoberfläche positiv gerkrümmt und nicht flach ist. (Das kann man leicht einsehen. Ich lade Sie ein, ein bisschen darüber nachzudenken, warum ihr das zum Vorteil gereicht.) Es stellt sich heraus, dass positive Krümmung sogar dadurch charakterisiert ist, dass eine kleine Scheibe - also die Menge all jener Punkte, die innerhalb einer gegebenen Distanz von einem festen Punkt liegen - ein wenig mehr Fläche einschließt als eine flache Scheibe selben Umfangs. Anders ausgedrückt: Das isoperimetrische Problem im Kleinen bevorzugt positive Krümmung. Die dynamische Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie besagt, dass alles Zukünftige und alles Vergangene bereits in bestimmten drei-dimensionalen Schnitten der Raumzeit - sogenannten Anfangsdaten - enthalten sind. Unter natürlichen Bedingungen ist dann die (skalare) Krümmung solcher Anfangsdaten nichtnegativ. Wir erkennen immer mehr, dass es einen tiefliegenden Zusammenhang zwischen den physikalischen Eigenschaften einer Raumzeit wie etwa ihrer Masse, ihrem Massenzentrum, oder der Form ihres Ereignishorizonts auf der einen Seite und dem isoperimetrischen Problem im Kleinen wie im Großen für Anfangsdaten der Raumzeit auf der anderen Seite gibt. Mithilfe des FWF-START-Preises konnten mein Team und ich zahlreiche Beiträge leisten, die unser Verständnis davon, wie Flächen mit speziellen geometrischen Eigenschaften wie beispielsweise Seifenfilme (kleinste Fläche), isoperimetrische Flächen (größtes eingeschlossenes Volumen bei gegebenem Flächeninhalt) oder Zellmembrane (kleinste Biegeenergie) in Anfangsdaten für die Einsteinschen Feldgleichungen physikalische Eigenschaften der sich entwickelnden Raumzeit antizipieren sowie oft auch einschränken, vertiefen. Dazu gehört die Lösung einiger lange offener Vermutungen in der mathematischen Allgemeinen Relativitätstheorie, von denen manche auf die Pionierzeit variationeller Methoden im Bereich zurückgehen. Der Erfolg dieses FWF-START-Preises hat die Grundsteine für eine Reihe neu eingerichteter, permanenter Forschungspositionen in Analysis, Geometrie und Allgemeiner Relativitätstheorie an der Universität Wien gelegt.