Mathematik, Computerwissenschaften

Herbert Edelsbrunner zählt zu den weltweit führenden Forschern in der Computer-Geometrie und -Topologie. Dieses Teilgebiet der Informationswissenschaften und der Mathematik beschäftigt sich mit der computergerechten Umsetzung von geometrischen und topologischen Tatbeständen und mit der Anwendung in verschiedensten Zweigen der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Edelsbrunner trug wesentlich zum fundamentalen Aufbau der Computer-Geometrie im letzten Viertel des letzten Jahrhunderts bei. Um die Jahrtausendwende war er dann entscheidend an der Begründung der Computer-Topologie beteiligt. Man kann sich dieses neue Gebiet als logische Erweiterung der Computer- Geometrie vorstellen, allerdings basiert es auf anderen mathematischen Fundamenten, was erklärt, warum nur wenige Forscherinnen und Forscher in beiden Gebieten aktiv tätig sind. In der Gegenwart verfolgt Edelsbrunner drei Forschungsschwerpunkte, jeder mit dem Ziel, die Computer-Topologie weiterzuentwickeln und damit neue Anwendungsgebiete zu erschließen. Diese Schwerpunkte beinhalten stochastische, algebraische und geometrische Fragestellungen innerhalb des Bereiches der topologischen Datenanalyse. Im ersten, stochastischen Forschungsschwerpunkt ist die detaillierte Analyse und Beschreibung von erwarteten Persistenz-Diagrammen ein hochgestecktes Ziel. Diese Sichtweise vereinheitlicht eine große Zahl von wahrscheinlichkeitstheoretischen Fragestellungen und motiviert weitere. Im zweiten, algebraischen Schwerpunkt ist das effiziente und effektive Berechnen der Persistenz von mehrdimensional gefilterten Räumen ein Traum, der vielfältige Anwendungen verspricht. Die Komplexität der Situation ist allerdings so gelagert, dass man nur auf Teilerfolge hoffen kann. Im dritten, geometrischen Forschungsschwerpunkt geht es um Gitter im Raum und Packungseigenschaften von Kugeln. Alle drei Gesichtspunkte sind notwendig, um hilfreiche und unter Umständen revolutionäre Einblicke in die mikroskopische Welt der Materialien zu liefern. Die Förderung durch den Wittgenstein-Preis wird es Edelsbrunner erlauben, Wien und Österreich als weltweit führenden Forschungsstandort der Computer-Geometrie und - Topologie auszubauen. Mit den Wittgenstein-Mitteln werden die gesteckten Ziele schneller erreicht und damit bis dato unberührte Anwendungen mit topologischen Zugängen bereichert werden. In einigen Fällen wird das Alternativlösungen ergeben, mit Vor- und Nachteilen im Vergleich zu herkömmlichen Methoden. Man kann aber auch Fälle erwarten, bei denen das Tor zu noch ungeahnten Möglichkeiten geöffnet wird.

Die geförderten Forschungsarbeiten beschäftigen sich mit topologischen, diskreten, stochastischen, und algorithmischen Aspekten von geometrischen Fragestellungen, welche durch Anwendungen in the allgemeinen aber insbesondere den biologischen und medizinischen Wissenschaften motiviert sind. Hier einige Auszüge: - Die erwartete Anzahl von Kanten, Dreiecken, und höher-dimensionalen Simplexen im Delaunay Mosaik eines stationären Poisson Punkt Prozesses wird durch die Linse der diskreten Morse Theorie untersucht. Die genauen Ausdrücke --- die bis zu drei Dimensionen schon seit den bahnbrechenden Arbeiten von Roger Miles um 1970 bekannt waren --- sind jetzt dadurch auch in vier Dimensionen bekannt. Weiters haben wir auch Verallgemeinerungen für den gewichteten Fall und für Delaunay Mosaiken höherer Ordnung bewiesen. - Das Konzept der persistenten Homology wurde auf den chromatischen Fall ausgeweitet, mit wichtigen Anwendungen in Materialwissenschaften und Krebs Biologie. Das inkludiert die topologische Entwicklung der sechs Persistenz Diagramme, die diskrete Analyse der darunter liegenden geometrischen Strukturen, sowie schnelle Algorithmen und Software um diese zu berechnen. - Es war bekannt, daß die maximalen Betti Zahlen einer Vereiningung von endlich vielen Einheitskugeln in drei Dimensionen zwischen linear und quadratisch in der Anzahl der Kugeln liegen. Wir haben bewiesen daß diese Zahlen tatsächlich quadratisch in der Anzahl sind, daß aber für bis auf linear vielen die Persistenz kleiner als eine Konstante ist. Wir streichen heraus das die verschiedenen Aspekte der geometrischen Fragestellungen miteinander in Verbindung stehen, und daß das parallele Herangehen Fortschritte an allen Fronten möglich gemacht hat.