Funktionen mit spezieller Walsh Transformation

Bentfunktionen, Semi-Bentfunktionen, Partially Bentfunktionen und verwandte vektorielle Funktionen wie vektorielle Bentfunktionen, Almost-Bentfunktionen und perfekt nichtlineare Funktionen, welche alle mittels Walsh Transformation beschrieben werden können, sind wegen ihrer reichhaltigen Verbindungen zu Objekten aus der Algebra, Kombinatorik oder Geometrie sehr interessante Forschungsobjekte. Boolesche Bentfunktionen etwa besitzen höchst mögliche Nichtlinearität, welche ein wichtiges Qualitätsmerkmal für Boolesche Funktionen in der Kryptographie ist. Die Nichtlinearität einer Bentfunktion ist gleichzeitig der "covering radius" des Reed-Muller Codes erster Ordnung. Bentfunktionen im Allgemeinen korrespondieren mit bestimmten Differenzenmengen. Die Forschungsvorhaben in diesem Projekt sind die Konstruktion und die Analyse von Bentfunktionen und von damit verwandten Funktionen, und die Analyse von quadratischen Funktionen (welche stets partially bent sind) im Hinblick auf Anwendungen in der Kodierungstheorie und in der Konstruktion von maximalen Kurven. Einige konkrete Vorhaben zum ersten Themenbereich sind die Konstruktion und die Analyse von Bentfunktionen welche affin auf den Elementen eines Semifield Spreads sind. Solche Bentfunktionen korrespondieren mit Hyperovals in Semifield Ebenen; die Konstruktion von neuen stark regulären Graphen mittels einer Konstruktion von Bentfunktionen; die Analyse von Grad und Normalität von Bentfunktionen in ungerader Charakteristik; die Analyse von vektoriellen Bentfunktionen etwa hinsichtlich Nicht-Regularität oder hinsichtlich der dualen Funktion. Methoden: Charaktere, Gauss Summen, endliche Körper, endliche Geometrie, Kombinatorik. Konkrete Pläne in der Analyse von quadratischen Funktionen sind das Erhalten von Abzählresultaten für bestimmte Klassen von quadratischen Funktionen im Hinblick auf die Gewichtsverteilung von Sub-Codes des Reed-Muller Codes zweiter Ordnung; die Konstruktion von maximalen und minimalen Artin-Schreier Kurven, oder von Kurven mit vielen rationalen Punkten. Methoden: Diskrete Fourier Transformation und zahlentheoretische Analyse, quadratische Formen, Analyse von Charaktersummen.