Geometrie von Algebren verallgemeinerter Funktionen

Die nichtlineare Theorie verallgemeinerter Funktionen im Sinne von J. F. Colombeau hat seit ihrer Einführung in den frühen achtziger Jahren ein starkes Wachstum erfahren. Ihr Nutzen liegt darin, dass sie eine gleichzeitige Behandlung von Differentiation, nichtlinearen Operationen und singulären Objekten ermöglicht und dabei sowohl die klassische Analysis als auch die Distributionentheorie von L. Schwartz konsistent erweitert. Im Kontext vielfacher Anwendungen in der Beschreibung singulärer Phänomene in der mathematischen Physik entwickelte sich in den späten neunziger Jahren eine geometrische Formulierung dieser Theorie. Dadurch wurde es möglich, Fragestellungen im Zusammenhang mit nichtlinearen Operationen und singulären Objekten in einem globalen Kontext, d.h. koordinateninvariant, zu behandeln. Unser Hauptaugenmerk liegt dabei auf der sogenannten vollen Variante der Theorie, da nur diese - im Gegensatz zur sog. speziellen Variante - eine geometrische Einbettung der Schwartz`schen Distributionentheorie ermöglicht. Sowohl in der globalen Analysis als auch in Anwendungen z.B. in der Physik spielen tensorielle Größen eine tragende Rolle. Auf Mannigfaltigkeiten können diese allerdings nur dann differenziert werden, wenn eine zusätzliche Struktur, nämlich eine Konnexion, vorhanden ist. Es ergibt sich der Begriff der kovarianten Ableitung, der grundlegend für die gesamte (semi-)Riemannsche Geometrie ist. Das gegenwärtige Projekt zielt darauf ab, die geometrische Theorie verallgemeinerter Funktionen, welche in einem Vorgängerprojekt mitentwickelt wurde, so auf tensorielle Objekte zu erweitern, dass der Begriff einer kovarianten Ableitung bzw. eines Zusammenhanges eingeführt werden kann. Neben fundamentalen Fragen in der abstrakten Theorie verallgemeinerter Funktionen, die dabei behandelt werden, ermöglicht dies vor allem die Formulierung einer nichtlinearen distributionellen (semi-)Riemannschen Geometrie im Rahmen einer invarianten Theorie nichtlinearer verallgemeinerter Funktionen. Insbesondere können damit Anwendungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie im Fall schwach regulärer Raumzeit-Metriken behandelt werden.

Im vorliegenden Projekt wurde die Theorie nichtlinearer verallgemeinerter Funktionen grundlegend neu strukturiert und in vielfacher Hinsicht erweitert. In erster Linie wurde eine vektorwertige Formulierung der Theorie auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten entwickelt, die die Einführung eines kovarianten Ableitungsoperators gestattet.Die Theorie der linearen verallgemeinerten Funktionen wie sie von L. Schwartz in den 1950er-Jahren eingeführt worden war, gestattet es nicht, nichtlineare Operationen wie etwa die Multiplikation zu definieren und erweist sich daher als wesentlich mangelhaft, sobald man sie auf partielle Differentialgleichungen mit singulären Koeffizienten oder ebensolchen Anfangsbedingungen anwenden möchte. Um dieser Probleme Herr zu werden, entwickelte J.F. Colombeau in den 1980er- Jahren eine nichtlineare Erweiterung der Schwartzschen Theorie, die simultan (a) nichtlineare Operationen, (b) Differentiation und (c) Singularitäten zu bewältigen imstande ist.Die volle Theorie der Colombeau-Algebren war zunächst auf den flachen euklidischen Raum beschränkt. Durch Einführung einer vereinfachten Version konnte sie auch auf Mannigfaltigkeiten eingerichtet und so einer Reihe von Anwendungen auf geometrische Probleme zugänglich gemacht werden, wie sie etwa für die allgemeine Relativitätstheorie essentiell sind. Diese Vereinfachung brachte jedoch den Verlust einer Reihe erstrebenswerter Eigenschaften mit sich, wie etwa die Möglichkeit einer kanonischen Einbettung von Distributionen.Im Gegensatz dazu brauchte es viel länger, bis sich eine geometrische Formulierung der vollen Theorie entwickelte, und überdies erwies sich diese als technisch um ein vielfaches aufwändiger. In den ersten einschlägigen Konstruktionen war sie auf den Fall skalarer verallgemeinerter Funktionen beschränkt und nicht imstande, mit vektorwertigen verallgemeinerte Funktionen in geometrischen Kontexten in voller Allgemeinheit umzugehen. Der entscheidende letzte Schritt in dieser Hinsicht konnte im vorliegenden Projekt im Wege einer Neuformulierung der Grundlagen der Theorie getan werden, die sich auf Methoden vektorwertiger Distributionen und auf topologische Tensorprodukte als Schlüsselkomponenten stützt. Auf diese Weise entstand ein begrifflicher Rahmen für die Konstruktion eines weiten Spektrums von Algebren vom Colombeau-Typ (den Großteil der bisher betrachteten Algebren eingschlossen), der eine Vielzahl struktureller Fragen erhellt. Dies erweist sich als eine unverzichtbare Vorbedingung für die Anwendung der Colombeau-Theorie auf Fragen der singulären (semi-)Riemannschen Geometrie.Dieser Forschungsstrang wurde durch ein Studium von Riemann- und Lorentzmetriken niedriger Regularität wesentlich ergänzt. In diesem Zusammenhang konnten die Singularitätentheoreme von Hawking und Penrose auf das Setting von C1,1-Metriken verallgemeinert werden. Darüber hinaus wurden impulsive Gravitationswellen studiert und für umfangreiche Klassen dieser exakten Lösungen der Einsteingleichungen konnte die geodätische Vollständigkeit gezeigt werden.