Diskrete Entropiestrukturen in Diffusionsgleichungen

Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaften und Technik enthalten typischerweise Informationen über die Gleichungsstruktur, die physikalische Eigenschaften widerspiegeln. Beispiele sind die Positivität, Massen- und Energie-erhaltung oder die Entropiedissipation. Diese Eigenschaften sind von besonderer Bedeutung in der mathematischen Analysis zur Herleitung von A-priori-Abschätzungen, die beispielsweise in der Existenz- und Langzeitanalysis benötigt werden. Numerische Schemata sollten diese strukturellen Eigenarten auf dem diskreten Niveau erhalten, um genaue und stabile Algorithmen zu erhalten. Während die Konsistenz und Stabilität numerischer Schemata in der Literatur gut untersucht worden sind, ist wesentlich weniger über Struktur erhaltende Verfahren bekannt. In diesem Projekt wollen wir die Entropiestruktur gewisser hochgradig nichtlinearer Diffusionsgleichungen untersuchen und neue Struktur erhaltende numerische Schemata entwickeln. Insbesondere sollen Gleichungen zweiter Ordnung (poröse Medien), vierter Ordnung (Dünnfilm, Quantendiffusion) und Maxwell-Stefan-Systeme für Multikomponenten-Gasgemische betrachtet werden. Wir betonen, dass dieses Projekt von der mathematischen Analysis diskreter Verfahren und ihren numerischen Tests handelt; wir suchen allerdings keine bestmöglichen Implementierungen, optimalen Iterations-techniken oder andere Verfeinerungen der numerischen Analysis. Zuerst entwickeln wir zeitliche Schemata höherer Ordnung und Finite-Volumen-Approximationen für nichtlineare parabolische Gleichungen, für die die Entropie beschränkt oder sogar dissipativ ist. Dies erzielen wir durch einen algebraischen Blickwinkel: Die kontinuierlichen Entropieabschätzungen werden diskret formuliert, indem wir geeignete diskrete Ableitungen und Summenformeln herleiten. Konvergenzeigenschaften werden bewiesen, und die diversen Schemata werden mit Hilfe numerischer Experimente in einer und zwei Raumdimensionen verglichen und bewertet. Als nächstes nutzen wir in einem eher geometrischen Blickwinkel die Gradienten-flussstruktur gewisser dissipativer Gleichungen und Systeme, indem wir eine Semi-Diskretisierung in der Zeit vorschlagen, die auf so genannte Minimizing-movement-Schemata führt. Insbesondere analysieren wir die Entropiestruktur von Maxwell- Stefan-Systemen. Die numerischen Ergebnisse des Minimizing-movement-Schemas werden mit denen aus Standard-Finite-Differenzen- und Finite-Elemente-Verfahren mit Entropievariablen verglichen. Außerdem leiten wir zeitliche Minimizing-movement-Schemata höherer Ordnung für Gradientenflüsse her und wenden sie auf die Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn-Gleichung vierter Ordnung an.

Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaften und Technik enthalten typischerweise Informationen über die Gleichungsstruktur, die physikalische Eigenschaften widerspiegeln. Beispiele sind die Positivität, Massen- und Energieerhaltung oder Entropiedissipation. Diese Eigenschaften sind von besonderer Bedeutung, um das Verhalten der Lösungen der Gleichungen und schließlich das Verhalten des zugrunde liegenden physikalischen Systems zu verstehen. Numerische Schemata, die die partiellen Differentialgleichungen approximieren, sollten die strukturellen Eigenschaften auf dem diskreten Niveau erhalten, um präzise und stabile Algorithmen zu erlangen.Das Hauptziel dieses Projekts war die Analysis der Entropiestruktur gewisser diffusiver partieller Differentialgleichungen, insbesondere hinsichtlich zeitlicher Approximationen höherer Ordnung und sogenannter Finite-Volumen-Approximationen. Wir haben Bedingungen hergeleitet, unter denen diese Approximationen die Dissipation der Entropie erhalten. Unsere Ideen basieren auf einer Kombination von Werkzeugen aus verschiedenen mathematischen Gebieten, insbesondere partielle Differentialgleichungen, gewöhnliche Differentialgleichungen und zeitstetige Markovketten. Unsere Ergebnisse können dabei helfen, die numerischen Vorhersagen von wissenschaftlichen und technologischen Prozessen aus der Fluiddynamik, Populationsdynamik und der Theorie der Quantendiffusion zu verbessern.