Globale Variationsmethoden für nichtlineare Evolutionsgleichungen

Nichtlineare Evolutionsprobleme werfen eine Vielzahl von anspruchsvollen mathematischen Fragestellungen auf. Diese reichen von der Wohlgestelltheit, dem qualitativen Verhalten von Lösungen bis hin zu deren Approximation. Variationsmethoden sind in diesem Zusammenhang von höchstem Interesse, da sie neue Formulierungen und Werkzeuge für die Modellierung, Analyse und Simulation liefern. Um innovative Fragen über nichtlineare Evolutionsgleichungen zu untersuchen, wird unser Forschungsprojekt auf einem globalen Variationsansatz, dem Weighted Inertia-Dissipation- Energie (WIDE) Prinzip, basieren. Das WIDE Prinzip ermöglicht eine Neuformulierung bezüglich Minimierung und Grenzübergang von beachtlich vielfältigen anwendungsbezogenen Evolutionssystemen. Diese Neuformulierung ebnet den Weg für eine direkte Anwendung der Techniken aus der Variationsrechnung auf Evolutionsprobleme, zum Beispiel, die direkte Methode, Gamma-Konvergenz und Relaxation. Unser Ziel ist es, das WIDE Prinzip auf aktuelle Problemstellungen der Evolutionsgleichungen anzuwenden. Insbesondere werden wir uns mit nichtkonvexen Evolutionsproblemen beschäftigen und auf Wohlgestelltheit und Approximierbarkeit prüfen. Darüber hinaus wollen wir das WIDE Prinzip nützen, um die Modellierbarkeit und Existenz von dynamischen Problemen in den Materialwissenschaften zu zeigen. Speziell der dynamische Bruch und Schaden sollen dabei untersucht werden.

Im Projekt ging es um die mathematische Analyse von verschiedenen zeitabhängigen Differenzialgleichungen. Der Kern des Projekts war ein Variationsansatz, der auf der Minimierung der globalen-in-Zeit Energie basiert. Dies führt zu einer neuen variationellen Formulierung des differenziellen Problems und ebnet damit den Weg zur Verwendung moderner Methoden der Variationsrechnung. Insbesondere wird dadurch ein innovatives Näherungswerkzeug ermöglicht, das auf verschiedene Systeme angewendet werden kann. Das Ergebnis des Projekts ist der Nachweis der Realisierbarkeit dieses Variationsansatzes in verschiedenen Kontexten. Einerseits haben wir erfolgreich Klassen von Gleichungen des sogenannten doppelt nichtlinearen Typs behandelt, die mitunter auch nicht-konvexe Potentiale aufweisen. Neben den Existenzresultaten, sogar in metrischen Räumen, wurden auch Annäherungs- und qualitative Theorien entwickelt. Andererseits haben wir uns auch mit anwendungsbezogenen Problemen wie der Kontinuumsmechanik von Festkörpern und Flüssigkeiten befasst. Insbesondere konnten wir das dynamische elastoplastische Problem und das inkompressible Navier-Stokes-System durch diese Variationsmethode lösen.