Unendlich dimensionale Gruppen und Spektrale Probleme

Neue Aussichten für das Projekt ergeben sich aus Fortschritten in der nicht-kommutativen harmonischen Analysis, (Symmetrien von Plancherel-Zerlegungen und explizite Konstruktionen von Trennungen von Spektra in Teile) und aus der geometrischen Beschreibung von Kategorien von Doppelnebenklassen für unendlich dimensionale Gruppen, die in letzter Zeit erreicht wurden. Die Forschung soll entlang folgender Linien erfolgen: 1. Die Entwicklung des Operatorkalküls für Fourier Transformationen auf Gruppen und für die Plancherel-Zerlegungen von unitären Darstellungen. 2. Die Untersuchung verschiedener Probleme die sich der Separierung von Spektra in gleichgradige Stücke in der nicht-kommutativen harmonischen Analyse ergeben. 3. Die Fortsetzung meines Arbeit im Gebiet der Doppelnebenklassen für unendlich dimensionale Gruppen (genannt), ihrer Wirkungen auf Massräumen. Anwendungen davon für endliche und für endlich dimensionale Gruppen. 4. Die Untersuchung von unendlich dimensionalen Gruppen über endlichen Körpern und der Versuch, einige von diesen zu klassifizieren. 5. Die Untersuchung einiger Spektralprobleme in der Ergodentheorie. 6. Das Erforschen von kombinatorischen Gegenstücken der Diffeomorphismengruppe des Kreises und der Thompson Gruppe. 7. Explizite Spektralprobleme für kommutierende Differentialoperatoren und entsprechende Integraltransformationen.

Die Themen des Projekts betreffen unitäre Darstellungen verschiedener Arten von Gruppen und damit verbundene spektrale Probleme. Eines unserer Werkzeuge für Lie-Gruppen sind Differenzoperatoren, die in Räumen quadratisch integrierbarer Funktionen durch Verschiebungen in imaginäre Richtungen und ihre Spektralzerlegung. Mit Hilfe solcher Operatoren erhalten wir den Operationskalkül für die Fourier-Transformation auf der Lobatschewski-Ebene. Wir definieren "verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen des komplexen Feldes" beliebigen Niveaus (es handelt sich um reelle Funktionen von zwei Variablen), und schlagen eine flexible Technik für die Arbeit mit solchen Funktionen vor. Wir zeigen, dass die meisten Eigenschaften der üblichen verallgemeinerte hypergeometrischen Funktionen Entsprechungen für "hypergeometrische Funktionen des komplexen Feldes" haben. Wir untersuchen unendlich-dimensionale Gruppen und deren unitäre Darstellungen. Es stellt sich heraus, dass solche Darstellungen Erweiterungen von Gruppen zu wesentlich breiteren Strukturen (Halbgruppen und Kategorien) zulassen. Solche Erweiterungen wurden zu Werkzeugen für die Untersuchung von Darstellungen, andererseits sind sie auch für sich selbst interessant. Wir nutzen die jüngsten Fortschritte bei der Untersuchung polnischer Gruppen (die im Wesentlichen mit der deskriptive Mengenlehre, der allgemeinen Topologie und der Modelltheorie zusammenhingen) und beziehen zusätzliche Typen von Gruppen in darstellungstheoretische Überlegungen ein. Manchmal sind Probleme, die die für unendlich-dimensionale Gruppen gut verstanden (oder relativ gut verstanden) sind, haben klassische Entsprechungen, die völlig unverständlich erscheinen. Wir wenden die Fortschritte bei unendlich-dimensionalen Gruppen auf klassische Objekte an und erhalten nicht standardisierte Ergebnisse zu endlichen symmetrischen Gruppen. Wir untersuchen Aktionen von Gruppen auf Maßräumen (maßerhaltende Aktionen und nicht-singuläre Aktionen) Insbesondere erhalten wir für eine generische Konjugazitätsklasse von maßerhaltenden Transformationen explizite Zerlegungen in verallgemeinerte Eigenfunktionen. In diesem Fall sind die Spektralmaße (die von Bourgain erhalten wurden) singulär; außerdem sind sie in einem sehr starken Sinne singulär. Andererseits zeigen wir, dass Aktionen von unendlich-dimensionalen Gruppen auf Maßräumen Aktionen von entsprechenden Halbgruppen und Kategorien erzeugen.