Regularität von Lösungen nichtlinearer nichtlokaler PDGs

Klassische (lokale) partielle Differentialgleichungen beschreiben Phänomene, bei denen die Änderung einer Funktion nur durch den Zustand in einem Punkt oder dessen unmittelbarer Umgebung bestimmt wird. Ein Beispiel dafür ist die Wärmeleitungsgleichung: Sie beschreibt, wie sich die Temperatur an einem Punkt im Raum über die Zeit ändert und hängt nur von der Temperatur in der unmittelbaren Umgebung ab. Bei nichtlokalen partiellen Differential- gleichungen dagegen hängt der Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt nicht nur von den Werten und Ableitungen der Funktion in der unmittelbaren Umgebung dieses Punktes ab. Es werden auch Informationen von sehr weit entfernten Punkten berücksichtigt. Dadurch können Phänomene, die eine sprunghafte oder anomalistische Dynamik aufweisen, modelliert werden. Diese kommen in vielen verschiedenen Bereichen vor, wie Finanzmärkte, anomalistische Diffusion, biologische Prozesse, Kommunikationsnetzwerke und Geophysik. Die in diesem Projekt betrachteten nichtlokalen Differentialgleichungen werden mittels fraktionaler Ableitungen realisiert. Fraktionale Ableitungen bieten eine Möglichkeit, das Konzept der klassischen Ableitung zu erweitern, sodass diese auch für nicht-ganzzahlige Exponenten wie 1/2 oder 1/3 definiert werden kann. In den Differentialgleichungen stehen anstelle der klassischen Ableitungen nun fraktionale Ableitungen. In diesem Projekt wollen wir die Lösungen solcher Differentialgleichungen besser verstehen, insbesondere deren Regularität. Obwohl das Gebiet aktuell sehr populär ist, gibt es vor allem im Bereich der nichtlinearen nichtlokalen partiellen Differentialgleichungen noch sehr viele offene und schwierige Fragestellungen. So ist zum Beispiel die optimale Regularität von Lösungen nicht bekannt. Die zeitabhängige Variante ist bislang nahezu unerforscht. Die zur Lösung solcher Probleme verwendeten Methoden sind vielfältig. Es fließen tiefe Kenntnisse der reellen Analysis, der Funktionalanalysis, Funktionenräume wie fraktionale Sobolev- und Nikolskii-Räume und die Theorie der nichtlinearen partiellen Differential- gleichungen ein. Eine Schwierigkeit bei der Untersuchung nichtlokaler Differentialgleichungen besteht darin, dass selbst wenn man nur an einem kleinen Gebiet im Raum interessiert ist, trotzdem immer das Verhalten der Lösung im kompletten Raum berücksichtigt werden muss. Ziel dieses Projekts ist es neue Methoden zu entwickeln, die es erlauben die Regularität von Lösungen besser zu verstehen.