Periodische Lösungen des gedämpften Maxwell-Bloch-Systems

Die Erfindung des Lasers im Jahr 1960 krönte in den 1950er Jahren experimentelle Arbeiten, die von Ideen aus der Quantenphysik inspiriert waren. In Industrie und Alltag sind die unterschiedlichsten Lasergeräte ständig im Einsatz: ein roter Lichtstrahl zur Steuerung des Türschließens in jedem Aufzug und Garagentor, feinste Laserstrahloperationen und Lasertherapie sowie das Bohren bizarr geformter Teile der stärksten Metalle. In den 1960er Jahren schlugen theoretische Physiker eine Reihe mathematischer Modelle zur Beschreibung der Funktionsweise von Lasergeräten vor, und in den Folgejahren wurde diese Theorie in den Werken führender Physiker und Mathematiker intensiv weiterentwickelt. Diese theoretischen Studien waren jedoch nicht streng mathematisch, was auf die außerordentliche Komplexität der entsprechenden Maxwell-Schrödinger-Gleichungen und ihrer verschiedenen Näherungen (Maxwell- Bloch-Gleichungen) zurückzuführen ist, die die Funktionsweise von Lasern beschreiben. Dadurch blieb das theoretische Verständnis der Funktionsweise dieser Geräte zunehmend hinter dem Erfolg des technischen Fortschritts auf Basis empirischer Konzepte zurück. Daher erfolgt die Laserkonstruktion und -herstellung heutzutage im Wesentlichen empirisch. Das Ziel dieses Projekts ist die Entwicklung der ersten strengen mathematischen Theorie für die Maxwell-Bloch-Gleichungen. Insbesondere planen wir, i) die Existenz zeitperiodischer Lösungen für solche Gleichungen und darüber hinaus ii) die Existenz von Einzelfrequenzlösungen zu beweisen, was eines der Hauptgeheimnisse der Laserwirkung darstellt. In beiden Richtungen haben wir bereits vorläufige Ergebnisse ermittelt und veröffentlicht. Derzeit wird intensiv daran gearbeitet, die Ergebnisse zu verbessern und weitere Richtungen zu entwickeln. Dies ist erst der Anfang der Entwicklung einer künftigen strengen mathematischen Theorie von Lasern, die den Fortschritt bei deren Design und Produktion erleichtern soll. Eine Perspektive ist auch, dass die entwickelten Methoden bei der mathematischen Analyse anderer Hochfrequenz- Elektronengeräte nützlich sein werden.