Nichtlineare distributionelle Geometrie

Ziel des erfolgreichen Projektantrags ist die umfassende Weiterentwicklung einer Theorie der "nichtlinearen distributionellen Geometrie". Es geht dabei um das Verständnis von so genannten nichtlinearen singulären Phänomenen wie sie beispielsweise bei seismischen Schockwellen im Erdinneren oder bei der Untersuchung von singulären Raumzeiten in der Einsteinschen Relativitätstheorie auftreten. Wie muss das theoretisch-mathematische Fundament beschaffen sein, um solche Fragestellungen exakt modellier- und berechenbar zu machen? Die Antwort: Nichtlineare distributionelle Geometrie, eine Theorie, die es gestattet, nichtlineare singuläre Phänomene geometrisch zu beschreiben. Vereinfacht gesagt sind nichtlineare Phänomene solche, bei denen Ursache und Wirkung nicht proportional zueinander sind. Derartige nichtlineare Situationen sind nicht etwa die Ausnahme in der Natur, es gibt sie vielmehr wie Sand am Meer. Allerdings sind sie entsprechend schwieriger zu behandeln als lineare Probleme. Zu den so genannten Singularitäten zählen etwa Stoßwellen, sehr kurze Impulse oder Idealisierungen von realen ausgedehnten Körpern als Punkte. Der geometrische Standpunkt schließlich besteht darin, dass die Beschreibung von Naturphänomenen - wie es für die Physik insbesondere seit Einstein unabdingbar ist - unabhängig von den den Beobachtern zugeordneten Raum- und Zeitskalen zu sein hat. Eine Theorie, die diese drei Aspekte zusammenführt ist nicht nur als Disziplin für die Grundlagenforschung von Interesse, sondern auch als Werkzeug für die Anwendung von enormer Bedeutung. Folglich ist geplant im Zuge des Forschungsprojekts, insbesondere bei der Theorieentwicklung, auch potenzielle Einsatzgebiete, wie die Relativitätstheorie oder die mathematischen Geophysik einzubeziehen. Deshalb ist die Zusammenarbeit mit SpezialistInnen aus diesen wissenschaftlichen Gebieten fix vorgesehen. Die lineare Theorie verallgemeinerter Funktionen (Distributionentheorie) übt seit ihrer Einführung in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts einen fundamentalen Einfluss auf verschiedenste Teilgebiete der Mathematik aus. Sie ist heute ein unverzichtbares Werkzeug für die Behandlung singulärer Größen, sowohl inner-mathematisch als auch in den Anwendungen aus der Physik, insbesondere in der Quantenmechanik und in der Einsteinschen Relativitätstheorie. Ein wesentlicher Nachteil der Distributionentheorie besteht jedoch darin, dass es in ihrem Rahmen nicht möglich ist, eine umfassende und an die Bedürfnisse der Anwendungswissenschaften angepasste Theorie nichtlinearer Operationen auf verallgemeinerten Funktionen anzugeben. Die Entwicklung einer solchen nichtlinearen Erweiterung der Distributionentheorie geht auf Arbeiten von J. F. Colombeau, M. Oberguggenberger und anderen in den frühen Achtzigerjahren des vorigen Jahrhunderts zurück. Die diesem Zugang zugrunde liegende Idee ist die der Regularisierung singulärer Größen durch glatte Objekte in Kombination mit asymptotischen Abschätzungen in Größenordnungen eines geeigneten Regularisierungsparameters. Unter dem Einfluss von Anwendungen auf Probleme einer primär geometrischen Natur (insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie, der mathematischen Geophysik und der nichtglatten Differentialgeometrie) ergab sich die Notwendigkeit einer grundlegenden Umstrukturierung der Theorie in Richtung einer "nichtlinearen distributionellen Geometrie". Die Entwicklung dieses Gebietes gelang erst in jüngster Zeit der vom Preisträger mitbegründeten internationalen Forschungsgruppe DIANA (DIfferential Algebras and Nonlinear Analysis, www.mat.univie.ac.at/~diana). In diesem Rahmen besteht nun erstmals die Möglichkeit, genuin nichtlineare singuläre Probleme (wie etwa die eingangs erwähnten Schockwellen im Erdinneren) in einem geometrischen Kontext konsistent und mathematisch exakt zu untersuchen.

Die lineare Theorie verallgemeinerter Funktionen (Distributionentheorie) übt seit ihrer Einführung in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts einen fundamentalen Einfluss auf verschiedenste Teilgebiete der Mathematik aus und ist heute ein unverzichtbares Werkzeug für die Behandlung singulärer Größen, sowohl inner-mathematisch als auch in den Anwendungen aus der Physik (insbesondere in der Quantenmechanik und der Einsteinschen Relativitätstheorie). Ein wesentlicher Nachteil der Distributionentheorie besteht jedoch darin, dass es in ihrem Rahmen nicht möglich ist, eine umfassende und an die Bedürfnisse der Anwendungswissenschaften angepasste Theorie der nichtlinearen Operationen auf verallgemeinerten Funktionen zu entwickeln.Die Entwicklung einer solchen nichtlinearen Erweiterung der Distributionentheorie geht auf Arbeiten von J.F. Colombeau, M. Oberguggenberger und anderen in den frühen Achtzigerjahren zurück. Die diesem Zugang zugrunde liegende Idee ist die der Regularisierung singulärer Größen durch glatte Objekte in Kombination mit asymptotischen Abschätzungen in Termen eines geeigneten Regularisierungsparameters. Das anfängliche Hauptanwendungsgebiet der Theorie lag naturgemäß auf dem Gebiet der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen mit singulären Daten oder Koeffizienten.Unter dem Einfluss von Anwendungen auf Probleme einer primär geometrischen Natur (insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie, der mathematischen Geophysik und der nichtglatten Differentialgeometrie) ergab sich die Notwendigkeit einer grundlegenden Umstrukturierung der Theorie in Richtung der Entwicklung einer "nichtlinearen distributionellen Geometrie". Im Rahmen dieser in den letzten Jahren entwickelten Theorie besteht nun erstmals die Möglichkeit, genuin nichtlineare singuläre Probleme in einem geometrischen Kontext konsistent und mathematisch exakt zu untersuchen.Das START-Projekt Nichtlineare Distributionelle Geometrie hat einen wichtigen Beitrag zur Entwicklung dieses Gebietes geleistet, sowohl was die theoretischen Grundlagen, als auch was die Anwendungen in der mathematischen Physik betrifft. Das Projekt war in drei (in enger Beziehung zu einander stehende) Teile unterteilt:Nichtlineare Distributionelle GeometrieDas Hauptresultat in diesem Teil des Projektes war die Entwicklung einer globalen tensoriellen Theorie nichtlinearer verallgemeinerter Funktionen, die die lineare Distributionentheorie enthält und sich für Anwendungen in nincht-glatter Differentialgeometrie und allgemeiner Relativitätstheorie eignet.Nichtglatte geometrische Analysis von DifferentialoperatorenHier wurde eine neue Theorie von Pseudodifferential- und Fourierintegraloperatoren entwickelt und auf Probleme der mathematischen Geophysik angewendet.Nichtglatte Allgemeine RelativitätstheorieDieser Teil des Projektes entwickelte neue Methoden zur Lösung singulärer Wellengleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Darüber hinaus wurde der Grundstein für eine Verallgemeinerung der Singularitätentheoreme gelegt.Insgesamt hat das Projekt mehreren Bereichen der Theorie der nichtlinearen verallgemeinerten Funktionen einen starken Impuls gegeben. Die hier entwickelten Methoden werden einen dauerhaften Einfluss sowohl auf das Gebiet selbst als auch auf seine Anwendungen in Analysis, Geometrie und mathematischer Physik ausüben.