Spektralanalysis und Anwendungen auf Solitonengleichungen

Von Wasserwellen kennt man aus der Alltagserfahrung zwei Phänomene: In Bereichen, in denen sie durch lineare Gleichungen beschrieben werden, bewirkt die so genannte Dispersion, dass Wellen zerlaufen. In Bereichen, in denen nichtlineare Effekte wirksam werden, beobachten wir das Brechen von Wellen. Umso überraschender war die Beobachtung des jungen Ingenieurs John Scott Russell im Jahre 1834, dass sich beide Effekte die Waage halten können und dann zu Wellen führen, die sich ohne Veränderung ihrer Form ausbreiten. Solche Wellen werden als Solitonen bezeichnet. Es dauerte bis 1895 bis dieses Phänomen auch theoretisch durch die Korteweg-de Vries- Gleichung (KdV) erklärt werden konnte, jedoch erst über hundert Jahre später wurde die wahre Bedeutung der Entdeckung erkannt: Um 1955 war man davon überzeugt, dass sich die Energie eines Systems von gekoppelten Oszillatoren durch das Vorhandensein einer kleinen nichtlinearen Störung gleichmäßig auf alle Eigenschwingungen verteilen würde. Umso überraschender war das Ergebnis eines Computerexperiments von Enrico Fermi, John Pasta und Stanislaw Ulam, welches stattdessen ein quasi-periodisches Verhalten der Energieverteilung zeigte, d.h., die Energieverteilung kehrt immer wieder praktisch zur Anfangsverteilung zurück. Es dauerte weitere zehn Jahre, bis es Martin Kruskal und Norman Zabuski gelang, den Grundstein zur Erklärung dieses Phänomens zu legen, indem sie zeigten, dass das FPU Experiment durch die KdV-Gleichung beschrieben werden kann, also jene Gleichung, die auch Russels Wasserwellen beschreibt! Mehr noch, sie belegten mit weiteren Computerexperimenten, dass unabhängig von der Ausgangswellenform nach langer Zeit nur noch eine Anzahl von Solitonen überbleibt, dass Solitionen also der stabile Bestandteil von KdV-Lösungen sind! Die mathematische Lösung der KdV-Gleichung gelang kurz darauf Clifford Gardner, John Greene, Martin Kruskal und Robert Miura mit Hilfe der inversen Streutheorie aus der Quantenmechanik, wodurch zwei zuvor unzusammenhängende Gebiete plötzlich verbunden wurden. Peter Lax schlussendlich entwickelte einen einheitlichen Zugang der die Erweiterung auf andere Solitonengleichungen erlaubte. Seitdem hat dieses faszinierende Gebiet enormes Interesse auf sich gezogen und eine große Anzahl von wissenschaftlichen Arbeiten und Anwendungen hervorgebracht. In Glasfaserkabeln erreicht man zum Beispiel mit Hilfe von Solitonen heutzutage Übertragungsraten von (je nach Entfernung) bis zu 10TBit pro Sekunde. Die meisten Arbeiten gehen von konstantem Hintergrund aus (keine Wellenauslenkung weit draußen). Der Fall von Solitonen, die sich auf einer periodischen Trägerwelle ausbreiten, ist noch im Anfangsstadium und wirft viele offene Fragen auf, zu deren Lösung dieses Projekt einen wichtigen Beitrag leisten soll. Die dabei auftretenden mathematischen Probleme sind sowohl in der Quantenmechanik (Streutheorie in Kristallen (Metallen) bzw. zwei gekoppelten Kristallstücken) als auch in der nichtlinearen Optik von Interesse.

Ziel des Projekts war es mathematische Werkzeuge zu entwickeln die zum besseren Verständnis grundlegender mathematischer Modelle in der Physik (insbesondere der Quantenmechanik und bei Wellenphänomenen) und der Biologie dienen.Im ersten Teil des Projekts ging es um Spektral- und Streutheorie für eindimensionale quantenmechanische Systeme. Es wurde das Modell eines Elektrons in einer (quasi-)periodischen Struktur (ein einfaches Modell eines Metalls) sowie auch in zwei gekoppelten (quasi-)periodischen Strukturen (ein einfaches Modell für zwei verbundene Metalle) untersucht. Wir konnten dafür eine vollständige direkte und inverse Streutheorie entwickeln; insbesondere also für die Frage wie die genaue Struktur des Systems aus gemessenen Größen wie zum Beispiel Transmissions- oder Reflektionseigenschaften rekonstruiert werden kann. Weiters wurden neue Werkzeuge zur Untersuchung von Eigenwerten in der Nähe von Bandkanten entwickelt. Außerdem ein neuer Zugang für direkte und inverse Spektralprobleme, bei denen das Potential eine starke Singularität an einem endlichen Randpunkt aufweist. Das deckt unter anderem den wichtigen Fall von radialen Operatoren ab, d.h. die Radikalkomponente eines dreidimensionalen Problems mit sphärischer Symmetrie.Im zweiten Teil des Projekts ging es um vollständig integrable nichtlineare Wellengleichungen. Das Problem hier ist, dass nichtlineare Gleichungen, die Wellenphänomene modellieren (zum Beispiel Wasserwellen), in der Regel nicht explizit gelöst werden können, was eine genaue Analyse schwierig macht (wie zum Beispiel die Vorhersage das Langzeitverhaltens). Viele dieser Modelle können aber als Störungen vollständig integrabler Modelle betrachtet werden, die aufgrund zusätzlicher mathematischer Strukturen explizit gelöst werden können (was den Namen erklärt). Eine genaue Untersuchung der Lösungsstruktur integrabler Modelle ist daher ein wichtiger Schritt zum Verständnis von realistischeren Modellen. Im Rahmen des Projekts wurde eine vollständige Beschreibung algebro-geometrischer Lösungen der Toda- und der Ablowitz-Ladik-Gleichung (was zu einer Monographie im Cambridge Verlag geführt hat) und eine genaue Beschreibung des Langzeitverhaltens asymptotisch periodischer Lösungen der Toda-Gleichung (das integrable Modell das mit dem berühmten Fermi-Pasta-Ulam-Problem im Zusammenhang steht) und der Koertweg-de Vries-Gleichung (die wohl bekannteste Solitonengleichung) erhalten. Außerdem konnten wir eine genaue Beschreibung des Langzeitverhaltens von Schock- und Verdünnungswellen bei diesen Gleichungen geben.Im dritten Teil des Projekts ging es um die mathematische Modellierung des menschlichen Atem- und Blutkreislauf-Systems. Vereinfacht gesagt geht es dabei um einen theoretisch fundierten Hintergrund für das, was zum Beispiel beim Alkoholtest gemacht wird: die Bestimmung der Blutalkoholkonzentration aus der Alkoholkonzentration in einer Atemprobe. Die Fortschritte bei den analytischen Methoden der Massenspektrometrie in den letzten zwanzig Jahren (es können inzwischen Konzentrationen im Milliardstelbereich und weniger gemessen werden) hat die Tür zur Atemgasanalyse geöffnet und es gibt inzwischen vielfache Beweise, dass flüchtige organische Verbindungen (VOCs), die im Körper produziert werden und dann über die Atemluft abgegeben werden, großes Potential für die medizinische Diagnose haben. Atemgasuntersuchungen sind nichtinvasiv und können auch kontinuierlich und in Echtzeit durchgeführt werden. Ziel des Projekts war es neue mathematische Modelle zu entwickeln, die es erlauben die Blutkonzentration bestimmter Markersubstanzen aus deren Atemgaskonzentrationen zu bestimmen. Was einfach klingt (und deshalb in der Vergangenheit oft nicht ausreichend berücksichtigt wurde) ist ein subtiles Problem insbesondere für Substanzen mit einem großen Blut: Luft-Partitionskoeffizienten (die nur unzureichend durch die klassische Farhi-Gleichung beschrieben werden). Im Rahmen des Projekts konnten wir grundlegende Modelle für die zwei prototypischen Substanzen Isopren und Aceton entwickeln, Licht auf die Produktion von Isopren im menschlichen Körper werfen und das Potential der Atemgasanalyse für Anwendungen bei der Überwachung einer Anästhesie oder bei Urban Search and Rescue Operationen untersuchen.